macierze bazy

[alchem]

1.Zastosuj macierz przejścia do znalezienia współrzędnych wersorów\(\displaystyle{ [1,0],[0,1]}\) oraz wektora \(\displaystyle{ [-1/3,7]}\) w bazie \(\displaystyle{ [3,-2],[2,1]}\).
Wersory to będą wektory z bazy\(\displaystyle{ [3,2],[-2,1]}\) czy się mylę? bo jeśli tak to macierz przejścia to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-2\\2&1\end{array}\right]}\)?

2.Znajdź macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ [1,1],[1,-2]}\) do bazy \(\displaystyle{ [-1,1][2,0]}\) w \(\displaystyle{ R^2}\).
Tutaj biorę macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]* \left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1\\1\end{array}\right]}\).
I to samo z drugiem wektorem, na tym to polega?

3. Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^2 \rightarrow R^3}\) przeprowadza \(\displaystyle{ [1,1]}\) na \(\displaystyle{ [0,1,2]}\) i \(\displaystyle{ [-1,1]}\) na \(\displaystyle{ [2,1,0]}\). Jaka jest macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) względem standardowych baz w \(\displaystyle{ R^2}\) i \(\displaystyle{ R^3}\)? Tego nie mam pojęcia jak ruszyć zupełnie...

4.NIech odwzorowanie \(\displaystyle{ A:V \rightarrow W}\) będzie reprezentowanie przez macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\3&4&5\end{array}\right]}\) względem baz \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ f_1,f_2}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Bez posługiwania się macierzami przejścia wyznacz macierz odwzorowania \(\displaystyle{ A}\) względem baz \(\displaystyle{ e_1,e_1+e_2,e_1+e_2+e_3}\) oraz \(\displaystyle{ f_1,f_1+f_2}\) Tutaj tak samo, nie wiem jak to ruszyć.

[leg14]

W 2 szukasz współrzędnych bazy \(\displaystyle{ [-1,1][2,0]}\) w drugiej bazie i zapisujesz je w macierz.Wspolrzedne dla jednego wektora w jednej kolumnie.
W 3 musisz znalezc na co przechodza bazy standardowe i te wektory na ktore przechodza zapisac za pomoca bazy standardowej \(\displaystyle{ \RR^3}\) i wspolrzedne obrazow tych wektorow standardowych w bazie standardowej \(\displaystyle{ \RR^3}\) wpisac w macierz analogicznie jak w 2.

W 4. musisz troche pokombinowac.
Co mozesz wyciagnc z tej macierzy ?
\(\displaystyle{ e_1 \rightarrow 0 \cdot f_1 + 3 \cdot f_2}\)
\(\displaystyle{ e_2 \rightarrow 1 \cdot f_1 + 4 \cdot f_2}\)

no to np. \(\displaystyle{ e_1 + e_2 \rightarrow 1 \cdot f_1 + 7 \cdot f_2= 7 \cdot( f_1 + f_2) + (-6) \cdot f_1}\)

W 1. zle poczytaj o tym jak sie tworzy taka macierz, generalnie najlepiej traktowac macierz przejscia od bazy \(\displaystyle{ \alpha}\) do bazy \(\displaystyle{ \beta}\) jako macierz

\(\displaystyle{ M^{\alpha}_{\beta} (id)}\) gdzie M jest macierza przeksztalcenia liniowego identycznosciowego.

[alchem]

W 2 będzie:
\(\displaystyle{ [-1,1]=a[1,1]+b[1,-2]

[2,0]=c[1,1]+d[1,-2]}\)
gdzie kolumnami będą \(\displaystyle{ {a \choose b}}\) i \(\displaystyle{ {c \choose d}}\)?
4. to będzie macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-6&-9\\0&7&12\end{array}\right]}\)?

1. \(\displaystyle{ [1,0]=a[3,-2]+b[2,1]}\) gdzie \(\displaystyle{ {a \choose b}}\) to kolumna analogicznie \(\displaystyle{ e_2}\) i mam macierz przejścia?

3.
\(\displaystyle{ [0,1,2]=1 \cdot [a,b,c]+1 \cdot [e,f,g]

[2,1,0]=-1 \cdot [a,b,c]+1 \cdot [e,f,g]

[a,b,c]=[-1,0,1]

[e,f,g]=[1,1,1]}\)

więc \(\displaystyle{ [a,b,c]^T}\) i \(\displaystyle{ [e,f,g]^T}\) to kolumny tej macierzy?