Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Manwena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 7 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: Manwena »

Czy ktoś umie zrobić dowód tego twierdzenia?
Co dalej robić z tym \(\displaystyle{ \lambda^{2} - tr(A)\lambda + det(A)}\) ?
Proszę o pomoc.
Ja udowadniałam to ze korzystając ze wzorów Viete'a, ale muszę inaczej
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: yorgin »

Manwena pisze: Ja udowadniałam to ze korzystając ze wzorów Viete'a, ale muszę inaczej
A dlaczego musisz?
Czy ktoś umie zrobić dowód tego twierdzenia?
Co dalej robić z tym \(\displaystyle{ \lambda^{2} - tr(A)\lambda + det(A)}\) ?
Podstaw za \(\displaystyle{ \lambda}\) macierz \(\displaystyle{ A}\) i licz... To chyba nie jest takie trudne?
Manwena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 7 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: Manwena »

To nie to.
Chodzi o udowadnienie, że jeśli \(\displaystyle{ tr(A)<0}\), \(\displaystyle{ det(A)>0}\), to wtedy jej wartości własne wielomianu mają ujemną cześć rzeczywistą.

-- 24 maja 2015, 12:25 --

Fajnie, że nie napisałam o jaki dowód chodzi
Ostatnio zmieniony 24 maja 2015, o 16:30 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: yorgin »

Manwena pisze: Chodzi o udowadnienie, że jeśli \(\displaystyle{ tr(A)<0}\), \(\displaystyle{ det(A)>0}\), to wtedy jej wartości własne wielomianu mają ujemną cześć rzeczywistą.
Skoro masz więc dowód ze wzorów Viete'a, to co jeszcze potrzebujesz? Jakiekolwiek podejście pośrednio je wykorzysta. Zawsze możesz też wypisać jawny wzór na pierwiastki wielomianu i zobaczyć, jak wyglądają części rzeczywiste w tym przypadku.
Manwena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 7 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: Manwena »

Tylko osobie, która to sprawdzała się to nie spodobało.
Niby jeszcze analizując poszczególne przypadki się da, ale mi nie wychodziło nic konstruktywnego z tego.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: yorgin »

Manwena pisze:Tylko osobie, która to sprawdzała się to nie spodobało.
Może rozumowanie nie było ścisłe? To czasem wystarczy, by powiedzieć, że rozwiązanie "nie podoba mi się".
Manwena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 7 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: Manwena »

Ma nie być ze wzorów Viete'a tylko mam zbadać poszczególne przypadki analizując pierwiastki wielomianu.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: yorgin »

To chyba potrafisz zrobić? Łatwo podać wzór jawny na pierwiastki. Potem trzeba się zastanowić nad tym, kiedy pierwiastki są rzeczywiste, kiedy urojone. W pierwszym przypadku trzeba sprawdzić, czy dodanie wyróżnika nie wyprowadzi jednego z pierwiastków w liczbę większą od zera. W przypadku urojonym sprawa wygląda zdecydowanie łatwiej.
Manwena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 15:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 7 razy

Dowód Twierdzenia Cayley-Hamilton dla macierzy [2x2]

Post autor: Manwena »

Już sobie z tym poradziłam
ODPOWIEDZ