Własności prostej względem hiperpłaszczyzny

[blade]

Dana jest hiperpłaszczyzna \(\displaystyle{ \pi:2x+my-3(k+1)z+u-1 = 0}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\) oraz prosta \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=1\\y=2+3t , t \in \RR\\z=-1\\u=1+6t \end{cases}}\)
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\) zachodzi :
1. \(\displaystyle{ \pi || l}\)
2. \(\displaystyle{ \pi \cap l}\) składa się dokładnie z jednego punktu
3. \(\displaystyle{ l\substeq \pi}\)

Ad.1
Przekształcam sobie równanie parametryczne :
\(\displaystyle{ (x,y,z,u) = (1,2,-1,1) + (0,3,0,6)t}\)
z równania hiperpłaszczyzny wyznaczam \(\displaystyle{ u}\)
\(\displaystyle{ u = -2x -my +3(k+1)z +1 = u}\)
Teraz mogę wyznaczyć powłokę liniową przestrzeni wektorów swobodnych hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)
\(\displaystyle{ \vec{\pi} = lin\{(1,0,0,-2);(0,1,0,m);(0,0,1,(3k+1))\}}\)
A teraz mogę sprawdzić dla jakich parametrów \(\displaystyle{ \pi}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \RR\\
\alpha(1,0,0,-2) + \beta(0,1,0,m) + \gamma(0,0,1,(3k+1)) = (0,3,0,6)\\
\begin{cases} \alpha=0 \\ \beta = 3 \\ \gamma=0 \\ 3m=6 \rightarrow m=-2 \\ k\in \RR \end{cases}}\)
Odpowiedź do 1 to \(\displaystyle{ m=-2}\) i \(\displaystyle{ k}\) dowolne
Ad.3
\(\displaystyle{ l \subseteq \pi \Leftrightarrow m=-2}\), bo tylko wtedy jest równoległe, muszę jeszcze znaleźć wartość \(\displaystyle{ k}\)
Zatem podstawiam do płaszczyzny wartości z prostej \(\displaystyle{ l}\) oraz \(\displaystyle{ m=-2}\)
\(\displaystyle{ 2-4-6t +3k +3 +1 +6t -1 = 0 \\
3k=1 \rightarrow k=\frac{1}{3}}\)

Natomiast w drugim za bardzo nie wiem co zrobić. Jeden wspólny punkt będą miały wtedy, gdy prosta nie będzie równoległa do płaszczyzny, czyli \(\displaystyle{ m\in \RR\setminus \{-2\}}\), kiedyś się zetkną w jednym punkcie, ale wątpię, żeby to było dobre rozwiązanie.

[kerajs]

Jest dobre.

Podejście alternatywne:
Tworzę układ równań zawierający prostą i płaszczyznę. Ilość jego rozwiązań wskaże mi położenie prostej względem płaszczyzny.
Współrzędne prostej wstawiam do równania płaszczyzny i mam:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1+m \cdot (2+3t)-3(k+1) \cdot (-1)+1 \cdot (1+6t)-1=0 \\
t(3m+6)=-3k-2m-5}\)
Mam 3 przypadki:
1) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (prosta przebija płaszczyznę) dla
\(\displaystyle{ 3m+6 \neq 0}\)
2) równanie nie ma rozwiązanie (prosta równoległa do płaszczyznę, ale z nią rozłączna) dla
\(\displaystyle{ \left( 3m+6 = 0\right) \wedge \left( -3k-2m-5 \neq 0\right)}\)
3) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań (prosta należy do płaszczyzny) dla
\(\displaystyle{ \left( 3m+6 = 0\right) \wedge \left( -3k-2m-5 = 0\right)}\)

Jak widzisz rozwiązania z obu postów są takie same.

[blade]

Dzięki