Równanie hiperpłaszczyzny

[blade]

Napisać równanie hiperpłaszczyzny w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \RR^4}\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) oraz równoległej do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\)
\(\displaystyle{ A=(1,4,3,2), B=(2,0,-1,1), C=(1,0,0,2), \vec{u} = (1,1,1,1)\\
\vec{AB}= (1,-4,-4,1)\\
\vec{AC}=(0,-4,-3,0)\\
\vec{BC}=(-1,0,1,1)\\}\)
Sprawdzam liniową niezależność :
\(\displaystyle{ \alpha(1,-4,-4,1) + \beta(0,-4,-3,0)+ \gamma(-1,0,1,1) = \vec{0}\\
\alpha = \gamma\\
\alpha = -\beta}\)
a z pozostałych dostaję tożsamościowy, no więc nie jest liniowo niezależne i co teraz?
Bo normalnie ułożył bym już równanie, ale nie mam 3 niezależnych liniowo wektorów, a z definicji wymiar hiperpłaszczyzny musi być równy \(\displaystyle{ n-1}\), gdzie moje \(\displaystyle{ n=4}\)

[Premislav]

Masz błąd w obliczeniach i pewnie stąd Ci wyszło, że nie są liniowo niezależne. Sprawdź jeszcze raz wektor \(\displaystyle{ AB}\).

[blade]

Rzeczywiście miałem błąd :
Ale to nic nie zmienia bo machnąłem się przy przepisywaniu z zeszytu
\(\displaystyle{ \vec{AB} = (1,-4,-4,-1)}\)
I szczerze, to one chyba nie mogą być liniowo niezależne z tego względu, że \(\displaystyle{ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}\) zawsze!
Więc żadnego błędu nie ma, muszę teraz sprawdzić
liniową niezależność dla \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{BC}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i rzeczywiście wychodzi liniowo niezależne, ale teraz nie wiem jak ułożyć równanie tej płaszczyzny, w sensie jaki punkt obrać
\(\displaystyle{ y=??? + \alpha(1,-4,-4,1) + \beta (-1,0,1,1) + \gamma (1,1,1,1)}\)
Jak znaleźć punkt, który oznaczyłem jako "\(\displaystyle{ ???}\)"

[kerajs]

A ?
a może B ?
lub C ?
albo środek odcinka AC ?
bądź środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ?

[blade]

A rozumiem, punkt z tej płaszczyzny jakiś tak ?
Musi spełniać jakieś warunki ten punkt ?

[kerajs]

To dowolny punkt spełniający jedyny warunek: punkt musi należeć do płaszczyzny.

[blade]

Powiedziałbym, że punkt \(\displaystyle{ A}\), bo od niego jakby zaczynamy