Podprzestrzeń afiniczna

[blade]

Niech \(\displaystyle{ Y =\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \RR^4 : 2x_1 -3x_2 + x_3 =2; 2x_1 +x_2 -5x_3 + 3x_4 =0\}}\). Sprawdzić, ze \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenia afiniczna wymiaru \(\displaystyle{ 2}\) oraz napisac równanie
podprzestrzeni afinicznych wymiaru \(\displaystyle{ 2}\) oraz wymiaru \(\displaystyle{ 1}\), równoległych do \(\displaystyle{ Y}\) i przechodzacych
przez punkt \(\displaystyle{ a = (2,−1, 1, 2)}\).

Czyli tak :
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1 -3x_2 + x_3 =2 \\ 2x_1 +x_2 -5x_3 + 3x_4 =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x_3 = 2 -2x_1 + 3x_2\\
2x_1 + x_2 -10 + 10x_1 +15 x_2 +3x_4=0}\)

\(\displaystyle{ 12x_1 +16x_2 + 3x_4 = 10\\

x_4 = \frac{10-12x_1 -16x_2}{3}}\)

No, ale tu już widzę, że z tego nie zrobię za bardzo \(\displaystyle{ \vec{Y}}\), bo mam te współczynniki wolne. Powinienem to po prostu przyrównać do \(\displaystyle{ 0}\) a nie do \(\displaystyle{ 2}\) chyba (jeśli tak - to dlaczego?) ? Zgadza się ?

[Medea 2]

Wyrażenia takie, jak z Twojej definicji, tzn. kombinacje liniowe \(\displaystyle{ X_i}\) przyrównane do stałej, wyznaczają podprzestrzenie liniowe (gdy współczynnik jest zerem) lub afiniczne (jeśli nie jest). Każda przestrzeń afiniczna powstaje z liniowej przez przesunicie o wektor, więc to, o co pytasz (przed "zgadza się?") jest uzasadnione. Przyrównaj do zera i licz.

[blade]

Ok, dziękuję :
wyszło mi :
\(\displaystyle{ x_3 = 3x_2 -2x_1 \\
x_4 = \frac{14}{3}x_2 -4x_1}\)
\(\displaystyle{ \vec{Y} = lin\left\{ (1,0,-2,-4),\left( 0,1,3,\frac{14}{3}\right)\right\}}\)
Równania :
\(\displaystyle{ y=(2,-1,1,2) + \alpha (1,0,-2,-4) \\
z=(2,-1,1,2) + \beta \left( 0,1,3,\frac{14}{3}\right)}\)
Tak ?

PS: To po co ta dwójka? Wyczytałem, że trzeba sprawdzić czy nie jest to pusty zbiór, poprzez właśnie rozwiązanie tego równania.