Niezależność liniowa, bazy

[whenyoulaugh]

Hej! Czy ktoś wie jak wykonać te zadania?

1. Pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ n}\) wektorów
\(\displaystyle{ (1,1,1,...,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,1,1,...,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,0,1,...,1,1)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ (0,0,0,...,0,1)}\)
jest liniowo niezależny.
2. Niech \(\displaystyle{ V(R)}\) jest przestrzenią wektorową. Dane są \(\displaystyle{ u _{1} ,..., u _{n}}\) należące do \(\displaystyle{ V(R)}\)
Definiujemy wektory:
\(\displaystyle{ v _{1} = u _{1} \\
v _{2} = u _{1} + u _{2}\\
.\\
.\\
.\\
v _{n} = u_{1} + u _{2} +...+ u _{n}}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ u _{1} ,..., u_{n}}\) są liniowo niezależne, a \(\displaystyle{ v _{1} ,..., v _{n}}\) liniowo zależne.

3. Wykazać liniową niezależność nad \(\displaystyle{ R}\) układu funkcji:
a) \(\displaystyle{ \{1,t,t^2\}}\)
b) \(\displaystyle{ \{\sin t, \cos t\}}\)
c) \(\displaystyle{ \{1, \sin t, \cos t\}}\)

[yorgin]

1. Zastosuj definicję liniowej niezależności. Zapisz

\(\displaystyle{ \mu_1 (1, 1, \ldots, 1)+\mu_2(0, 1,\ldots, 1)+\ldots+\mu_n(0, \ldots, 0, 1)=0}\)

i pokaż, że \(\displaystyle{ \mu_i=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i}\).

2. To zadanie nie ma sensu. Nic nie wiadomo o \(\displaystyle{ V(R)}\), nic nie wiadomo o \(\displaystyle{ u_1,\ldots, u_n}\), więc nic nie wiadomo o wypisanych kombinacjach.

3. a) Zapisz znów \(\displaystyle{ \mu_1\cdot 1+\mu_2\cdot t+\mu_3\cdot t^2=0}\) i pokaż, że skoro równość zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\), to \(\displaystyle{ \mu_1=\mu_2=\mu_3=0}\).


Zadanie 1) można rozwiązać macierzowo, licząc odpowiedni wyznacznik. Zadanie 3) - wynik pozytywny daje obliczenie wrońskianu układu funkcji.