Symetryczny funkcjonał dwuliniowy

[ZF+GCH]

Nie bardzo rozumiem. \(\displaystyle{ F}\) prawie zawsze nie jest funkcjonałem liniowym (choćby u nas : \(\displaystyle{ F(z)=2z^2}\)), więc ciężko mówić o jego macierzy. Wobec tego po prostu "zapożyczamy" macierz od odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f}\), generującego \(\displaystyle{ F}\), które to \(\displaystyle{ f}\) jako liniowe ma pewną macierz. To jest tylko definicja. Nie ma możliwości, potrzeby, sensu, etc. szukania jakiejś macierzy bezpośrednio ze wzoru odwzorowania \(\displaystyle{ F}\).

[Poszukujaca]

Jak to? Przecież definiuje się macierz funkcjonału kwadratowego.

[ZF+GCH]

No o tym mówię właśnie. Komentuję Twoją definicję. DEFINIUJE się, że macierz funkcjonału kwadratowego \(\displaystyle{ F}\), to macierz funkcjonału \(\displaystyle{ f}\), od którego \(\displaystyle{ F}\) pochodzi. Wobec tego porównywanie macierzy \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ f}\) nie ma sensu. One są równe. Taka jest definicja.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ F}\) prawie zawsze nie jest funkcjonałem liniowym (choćby u nas : \(\displaystyle{ F(z)=2z^2}\)), więc ciężko mówić o jego macierzy.

Czy naprawdę forma kwadratowa nie musi być odwzorowaniem wieloliniowym? To znaczy nie musi być spełniony warunek addytywności? Definicja formy kwadratowej mówi o warunku jednorodności stopnia 2. Ale ten warunek to nie to samo co jednorodnosć stopnia jeden, która jest warunkiem na odwzorowanie wieloliniowe.

[ZF+GCH]

Forma kwadratowa jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zerowa. Mam wrażenie, że nie rozumiesz definicji, które przytaczasz. Ciężko wtedy mówić o rozwiązywaniu zadań. Przecież w naszym wypadku \(\displaystyle{ F}\) jest zwykłą funkcja kwadratową. (Funkcjonał liniowy to przecież zwykła funkcja liniowa, tylko mające miejsce zerowe w zerze.) Dziwi Cię to, że nie jest ona liniowa? Wysłów sobie definicje, postaraj się zrozumieć, co jest czym. No przecież, gdy \(\displaystyle{ F(z)=f(z,z)}\), (Niech \(\displaystyle{ z \in V}\), \(\displaystyle{ dimV=n}\)) i choć jeden z współczynników w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f}\) nie jest zerowy, we wzorze na \(\displaystyle{ f}\) pojawia się jakiś iloczyn \(\displaystyle{ z_iz_k, 1 \leq i,k \leq n}\). Jak mnożysz argument przez liczbę \(\displaystyle{ \alpha \in K}\) (\(\displaystyle{ K}\) - ciało), to pojawia się ona przy każdej współrzędnej, więc w wartości funkcjonału \(\displaystyle{ F}\) na \(\displaystyle{ \alpha z}\) masz iloczyn \(\displaystyle{ \alpha z_i \alpha z_k}\). Wyciągniesz zatem z każdego składnika \(\displaystyle{ F}\) liczbę \(\displaystyle{ \alpha^2}\), a nie \(\displaystyle{ \alpha}\). Funkcjonał kwadratowy nieprzypadkowo nazywa się kwadratowym.