Symetryczny funkcjonał dwuliniowy

[Poszukujaca]

Wyznaczyć symetryczny funkcjonał dwuliniowy (nad ciałem \(\displaystyle{ C}\) ) \(\displaystyle{ f: C^{2} \rightarrow C^{2}}\) generujący funkcjonał kwadratowy \(\displaystyle{ F: C \rightarrow C}\) dany wzorem \(\displaystyle{ F(z)=2z^{2}}\).

Robię tak: \(\displaystyle{ f((z_{1},z_{2}))=2z_{1}z_{2}}\).

Czy dobrze?

[Medea 2]

Ogólna postać funkcjonału dwuliniowego to \(\displaystyle{ x, y \mapsto ax+by + cxy}\), czyż nie? Chcemy, żeby \(\displaystyle{ F(z) = f(z,z) = az + bz + c z^2}\) było równe \(\displaystyle{ 2z^2}\). Zatem \(\displaystyle{ a+ b = 0}\) i \(\displaystyle{ c = 2}\), moim zdaniem.

[Poszukujaca]

Chyba nie jest to ogólna postać... Gdyż..

Definicja formy dwuliniowej:
Niech \(\displaystyle{ B=(v_{1},...,v_{m}), C=(w_{1},...,w_{m})}\) będą bazami odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ V_{1}, V_{2}}\). Funkcja \(\displaystyle{ \varphi: V_{1} \times V_{2} \rightarrow K}\) jest funkcjonałem dwuliniowym wtedy i tylko wtedy, gdy przy pewnych \(\displaystyle{ a_{ij} \in K}\), gdzie \(\displaystyle{ i \in {1,...,m}, j \in {1,...,n}}\) wyraża się ona wzorem: \(\displaystyle{ \varphi \left( \sum_{i=1}^{m}x_{i}v_{i},\sum_{j=1}^{n}y_{j}w_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}y_{j}}\).

Na podstawie tej definicji chyba chodzi o coś takiego:
\(\displaystyle{ f(z_{1},z_{2})=az_{1}^{2}+bz_{1}z_{2}+cz_{2}^{2}}\)

[Medea 2]

Ta forma nie jest dwuliniowa, bo dla \(\displaystyle{ z_2 = 0}\) mamy \(\displaystyle{ f(2z_1,0) = 4az_1^2 \neq 2 f(z_1,0)}\).

[Poszukujaca]

Tak, rzeczywiście.

Chyba już ogarniam...

Ogólnie dowolną formę dwuliniową można zapisać tak (zgodnie z podaną przeze mnie wyżej definicją):
\(\displaystyle{ \varphi \left( (x_{1},...,x_{n}),(y_{1},...,y_{n})\right) = a_{11}x_{1}y_{1}+a_{12}x_{1}y_{2}+...+a_{1n}x_{1}y_{n}+a_{21}x_{2}y_{1}+...+a_{2n}x_{2}y_{n}+...+a_{m1}x_{m}y_{1}+...+a_{mn}x_{m}y_{n}}\)

Więc forma z naszego zadania będzie miała postać:
\(\displaystyle{ f((z_{1},z_{2}))=a_{11}z_{1}z_{2}+a_{12}z_{2}z_{1}}\) Tylko, że jest kolizja oznaczeń i torchę ten wzór nie pasuje do podanej definicji.

W każdym razie dobrze?

[ZF+GCH]

Wyznaczyć symetryczny funkcjonał dwuliniowy (nad ciałem \(\displaystyle{ C}\) ) \(\displaystyle{ f: C^{2} \rightarrow C^{2}}\)

Chyba chciałaś zapisać \(\displaystyle{ f: C^{2} \rightarrow C}\)?

\(\displaystyle{ f((z_{1},z_{2}))=a_{11}z_{1}z_{2}+a_{12}z_{2}z_{1}}\)

Tak, to jest ogólna postać formy dwuliniowej. Pierwsze dwie przez Was podane nie były jednorodne.

[Poszukujaca]

Tak, miało być \(\displaystyle{ f:C^{2} \rightarrow C}\). Przepraszam za literówkę.

W takim razie ostateczna wersja formy dwuliniowej, która generuje funkcjonał kwadratowy \(\displaystyle{ F(z)=2z^{2}}\) jest \(\displaystyle{ f((z_{1},z_{2}))=z_{1}z_{2}+z_{2}z_{1}}\).

A jak zapisać macierz takiej formy dwuliniowej? Czy musi być ona taka sama jak macierz formy kwadratowej?

[ZF+GCH]

Spójrz może tutaj, powinno to pomóc

... index.html

[Poszukujaca]

Tak, rozumiem to. Tylko ten przykład z zespolonymi trochę miesza mi w głowie..

Spróbuje wprowadzić nowe oznaczenia: \(\displaystyle{ z_{1}=x_{1}+iy_{1}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=x_{2}+iy_{2}}\).

Teraz bazę \(\displaystyle{ C^{2}}\) oznaczę tak: \(\displaystyle{ B_{k}=\left\{ (1,0,(0,1) \right\}}\) utożsamiając każdą liczbę zespoloną z parą liczb rzeczywistych.

Forma dwuliniowa z zadania będzie miała postać: \(\displaystyle{ \varphi\left( (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right) =x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}}\)

Może tak być?

[ZF+GCH]

Faktycznie, trzeba coś zmienić. Ale teraz Twój funkcjonał nie jest liniowy ze względu na żadną zmienną. Oraz nie spełnia żądanego warunku, w szczególności ma wartości rzeczywiste, a powinien przyjmować każdą zespoloną. Powinno być :
\(\displaystyle{ \varphi\left( (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right) =2x_{1}x_{2}+2ix_{1}y_{2}+2ix_{2}y_{1}-2y_{1}y_{2}}\).

[Poszukujaca]

Czy ta postać, którą napisałeś to jest forma liniowa dwuliniowa generująca \(\displaystyle{ f(z)=2z^{2}}\)?

[ZF+GCH]

No tak. Policz \(\displaystyle{ \varphi((a,b),(a,b))}\).

[Poszukujaca]

Ale po co mi \(\displaystyle{ \varphi((a,b),(a,b))}\)

Czy macierz tej formy będzie wyglądała tak?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 2&2i \\ 2i&-2 \end{array}\right]}\)

[ZF+GCH]

Co rozumiesz przez generowanie funkcjonału? Czyż nie funkcjonał \(\displaystyle{ F \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}, F(z)=f(z,z)}\) dla pewnej \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}}\)? Utożsamiłaś \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), więc z tego korzystamy : \(\displaystyle{ f(z,w)=\varphi((Re(z),Im(z)),(Re(w),Im(w)))}\).

Macierz jest ok.

[Poszukujaca]

Co rozumiesz przez generowanie funkcjonału? Czyż nie funkcjonał \(\displaystyle{ F \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}, F(z)=f(z,z)}\) dla pewnej \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}}\)?

Tak, mam dokładnie taką definicję.

W moim skrycie mam napisane, że macierz funkcjonału kwadratowego \(\displaystyle{ F}\) nazywamy macierz funkcjonału \(\displaystyle{ f}\) generującego go.
Czyli macierz funkcjinału kwadratowego powinna być taka sama.. A coś nie bardzo mi to pasuje...