Bazy, przestrzenie i podprzestrzenie liniowe

[Gokus]

Witam
Prosiłbym o jakąś pomoc w tych zadaniach - jakieś wskazówki, rozwiązania.

Zadanie 1
Dane są wektory \(\displaystyle{ v_1 = (-1,2,2,1), v_2 = (0,4,3,2), v_3 = (5,2,-1,1), v_4 = (1,2,1,1)}\)
a) Wyznaczyć wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V = lin\left\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \right\}}\) oraz podać jakąś jej bazę złożoną z wektorów nie należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \right\}}\).
b) Wyznaczyć taką macierz A możliwie najmniejszych rozmiarów, że \(\displaystyle{ V = R(A,0) = \left\{ x \in R^4 : Ax = 0 \right\}}\).

Zadanie 2
Dane są dwie podprzestrzenie liniowe przestrzeni \(\displaystyle{ R^4, W = \left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in R^4 : 2x_1 + x_2 - 3x_3 + x_4 = 0 \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ V = lin\left\{ v_1,v_2,v_3 \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ v_1 = (2,3,1,-4), v_2 = (2,-2,1,1), v_3 = (2,0,1,-1)}\).
a) Podać jakieś bazy tych przestrzeni oraz ich wymiary.
b) Sprawdzić, że jedna z tych przestrzeni jest podprzestrzenią drugiej i wyznaczyć relację zawierania między nimi (czy \(\displaystyle{ V \subset W}\), czy \(\displaystyle{ W \subset V}\)).
c) Bazę mniejszej z tych przestrzeni uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\).

Z góry dziękuje
Pozdrawiam

[Poszukujaca]

Wskazówka do zad 1.a:
Sprawdź maksymalną liczbę wektorów liniowo niezależnych spośród \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\). Możesz zrobić to licząc rząd macierzy, której wiersze są tworzone ze współrzędnych kolejnych wektorów.

[Gokus]

Obliczyłem rząd tej macierzy - \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&5&1\\2&4&2&2\\2&3&-1&1\\1&2&1&1 \end{bmatrix}}\) - rząd wyszedł 2. Czyli \(\displaystyle{ dim V = 2}\).

O co chodzi z tym aby podać jakąś bazę, która nie jest złożona z wektorów \(\displaystyle{ \left\{ v_1,v_2,v_3,v_4 \right\}}\)? Czy skoro wymiar przestrzeni liniowej jest równy 2, mam po prostu podać dowolne dwa wektory, które są liniowo niezależne?

[Poszukujaca]

Myślę, że to chodzi o podanie dwóch dowolnych wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) takich, które należą do liniowej powłoki \(\displaystyle{ lin \left\{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}}\). Jeśli należą do liniowej powłoki to musi dać się je rozpisać za pomocą kombinacji wektorów z tej powłoki.