macierz A do n-tej

[epsylon]

Znlaźć macierz \(\displaystyle{ A^{n}}\), jeżeli

\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}
{ccc} a&1&1\\0&a&1\\0&0&a\end{array}\right]}\)-- 15 maja 2015, o 13:32 --Zauważyłam pewną zależność przy potęgowaniu macierzy. Otóż, jak zmienia się trzeci wyraz w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie.
\(\displaystyle{ A^{1}}\) ten wyraz ma postać 1
\(\displaystyle{ A^{2}}\) ten wyraz ma postać 2a + 1
kolejne potęgi: do trzeciej 3a + 3
do czwartej: 4a + 6
do piątej: 5a + 10
do szóstej: 6a + 15

Myślałam, aby zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego, ale promień jest różny.
np.

\(\displaystyle{ 3a + 3 - (2a + 1) = a + 2}\)
\(\displaystyle{ 4a + 6 - 3a - 3 = a + 3}\)

Proszę o jakąś wskazówkę.

[Medea 2]

Jeżeli \(\displaystyle{ a=0}\), to \(\displaystyle{ A^3 = 0}\). Jeżeli nie, podziel wszystkie wyrazy przez \(\displaystyle{ a}\) i potęguj macierz z jedynkami na przekątnej. To jest , nawet.

[epsylon]

Miałam wykazać tę zależność indukcyjnie. Sprawdzić jak zachowuje się dla dla n=1
dla n=2, n=3 n=4 n =5 i wykazać a ze dla każdego n.