Udowodnij \(\displaystyle{ rank A = rank (A,b)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ b_{r+1}=...=b_m=0}\).
Jak to pokazać wiedząc, że column rank = row rank?
Moja próba wygląda następująco. \(\displaystyle{ \Rightarrow}\):
Wiem, że jeśli \(\displaystyle{ rank A = rank (A,b)}\) to \(\displaystyle{ A \cdot x = b}\) ma rozwiązanie. Ale wtedy muszą być spełnione równania \(\displaystyle{ 0 = b_{r+1}, ..., 0 =b_m}\) czyli \(\displaystyle{ b_{r+1}=...=b_m=0}\).
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\): \(\displaystyle{ row rank(A,b) = row rank A = column rank A = column rank (A,b) = rank A = rank (A,b)}\). Tutaj mam pewną niepewność czy aby na pewno spełnione jest równanie \(\displaystyle{ row rank(A,b) = row rank A}\)?
Wychodzi na to, że tak, bo \(\displaystyle{ row rank(A,b) = row rank A}\) potrzebuje jedynie dodać, że \(\displaystyle{ b_{r+1}=...=b_m=0}\), bo dzięki temu warunkowi otrzymuje schodkowość.
Proszę o skontrolowanie.
Ostatnio zmieniony 15 maja 2015, o 08:55 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Wskazówka. Rząd kolumnowy mówi, ile liniowo niezależnych kolumn możesz wybrać. Gdyby któraś z \(\displaystyle{ b_k}\) dla \(\displaystyle{ k \ge r+1}\) nie była zerem, to ostatnia kolumna byłaby niezależna od pozostałych i zwiększyła rząd o jeden. Jeżeli wszystkie są zerem, to patrz na rząd wierszowy, tak będzie dobrze.
