Zbadać, czy podprzestrzeń jest niezmiennicza względem endomo

[Poszukujaca]

Zbadać, czy dana podprzestrzeń \(\displaystyle{ lin((1,0,-1),(1,-1,1))}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R^{3}}\) jest niezmiennicza względem endomorfizmu \(\displaystyle{ \varphi}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) określonego wzorem: \(\displaystyle{ \varphi((x_{1},x_{2},x_{3}))=(x_{1}-x_{2}-x_{3},2x_{2}-x_{3},3x_{3})}\).

Robię tak:
Oznaczam \(\displaystyle{ A=lin((1,0,-1),(1,-1,1))}\), \(\displaystyle{ A \subset R^{3}}\)
Muszę sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \forall_{(x_{1},x_{2},x_{3})\in A}: \varphi(A) \subset A}\)
W tym celu biorę wektory z \(\displaystyle{ A}\) i liczę ich wartości przez odwzorowanie, a następnie sprawdzam, czy te wektory, które uzyskuję da się zapisać jako liniową kombinację wektoró z \(\displaystyle{ A}\) - czyli czy należą one do \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ \varphi((1,0,-1))=(2,1,-3)}\)

\(\displaystyle{ (2,1,-3)=a(1,0,-1)+b(1,-1,1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=a+b \\ 1=-b \\ -3=-a+b \end{cases}}\)
Układ równań jest sprzeczny. Zatem pierwszy wektor z \(\displaystyle{ A}\) nie spełnia warunku \(\displaystyle{ f((x_{1},x_{2},x_{3}))}\), a ztego wynika, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu.