suma prosta, obraz, jądro

[aga285]

witam, mam problem z dwoma zadaniami dot. sumy prostej:

1. rozłożyć \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) na sumę prostą \(\displaystyle{ U \oplus V}\) , jeżeli \(\displaystyle{ U=lin((1,1,2),(2,1,-1)), V=lin((0,-1,0)).}\)

czy to ma wyglądać w ten sposób?:

\(\displaystyle{ U \oplus V = \{v \in \RR^{3} : v=a(1,1,2)+b(2,1,-1)+c(0,-1,0), a, b, c \in R \}=\\
\{v \in R^{3} : v=(a+2b, a+b-c, 2a-b), a, b, c \in \RR \}}\)

i teraz sprawdzam, czy część wspólna \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) jest równa zbiorowi złożonemu z wektora zerowego?

czyli biorę \(\displaystyle{ v _{1} \in U}\) i \(\displaystyle{ v _{2} \in V}\) czyli \(\displaystyle{ v _{1} =(a+2b,a+b,2a-b)}\) i \(\displaystyle{ v _{2} =(0,-c,0)}\) i rozwiązuję taki układ równań \(\displaystyle{ v _{1} = v _{2}}\) :

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+2b=0\\a+b=-c\\2a-b=0 \end{array}}\)

i faktycznie wychodzi mi, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), więc jest to suma prosta.

a drugie zadanie to:

2. niech \(\displaystyle{ p(x), g(x), r(x)}\) będą bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_{2}}\) i \(\displaystyle{ f: R[x]_{2} \rightarrow R[x]_{2}}\) odwzorowaniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ f(p)=0, f(q)=0}\) i \(\displaystyle{ f(r)=r}\) . znależć \(\displaystyle{ \ker f, \Im f}\)i sprawdzić czy \(\displaystyle{ R[x]_{2}= \ker f \oplus \Im f}\) .

więc \(\displaystyle{ \ker f=lin\{p(x), g(x)\}}\) , a \(\displaystyle{ \Im f =lin\{r(x)\}}\) , gdyż są liniowo niezależne, a suma ich wymiarów daje wymiar \(\displaystyle{ R[x]_{2}=3}\) . ale nie wiem jak sprawdzić \(\displaystyle{ R[x]_{2}= \ker f \oplus \Im f}\). może ktoś pomóc?