Uklad równań z trzema parametrami

[Poszukujaca]

Dla jakich \(\displaystyle{ a,b, c \in R}\) układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+ax_{2}+a^{2}x_{3}=a^{3} \\ x_{1}+bx_{2}+b^{2}x_{3}=b^{3} \\ x_{1}+cx_{2}+c^{3}x_{3}=c^{3} \end{cases}}\) ma rozwiązanie? Wyznaczyć to rozwiązanie.

Próbuje robić tak, że wpisuje układ w macierz uzupełnioną i chcę skorzystać z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jednak nie mam pojęcia jak przy tlu parametrach policzyć rząd.

[szw1710]

Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są wzajemnie różne, to wyznacznik jest różny od zera jako wyznacznik Vandermonde'a. Wtedy układ jest oznaczony. Jeśli nie są różne, to nieoznaczony, możesz zbadać.

[a4karo]

Zauważ, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ t^3-x_3t^2-x_2t-x_1}\), więc ten wielomian jest postaci \(\displaystyle{ (t-a)(t-b)(t-c)}\). Potrafisz stąd wyliczyć niewiadome \(\displaystyle{ x_i}\)?

Przeprowadź analizę ile jest rozwiązań gdy \(\displaystyle{ a=b\neq c}\) i \(\displaystyle{ a-b=c}\)

[szw1710]

Że mi się nie skojarzyło. A w innym miejscu pisałem o interpolacji (388721.htm#p5346840)

[Poszukujaca]

Napisałam tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{3}-a^{2}x_{3}-ax_{2}-x_{1}=0 \\ b^{3}-b^{2}x_{3}-bx_{2}-x_{1}=0 \\ c^{3}-c^{2}x_{3}-cx_{2}-x_{1}=0 \end{cases}}\)

I teraz pytanie, czy ten układ równań jest równoważny równaniu \(\displaystyle{ (x_{1}-a)(x_{2}-b)(x_{3}-c)=0}\) ?

[a4karo]

Nie. \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_2}\) otrzymasz porównując współczynniki dwóch wielomianó, które napisałem we wczesniejszym poście.

[Poszukujaca]

Nie rozumiem. Dlaczego to co napisałam jest nieprawdą?

Mogę prosić jeszcze o jakieś wyjaśnienie?

[a4karo]

Bo rozwiazaniami Twojego równania sa \(\displaystyle{ x_a=1, a_2=b, x_3=c}\), a one nie sa rozwiązaniami wyjsciowego układu równań

[Poszukujaca]

Jak to? Przecież rozwiązaniami równania: \(\displaystyle{ (x_{1}-a)(x_{2}-b)(x_{3}-c)=0}\) są:
\(\displaystyle{ x_{1}=a, x_{2}=b, x_{3}=c}\)

[a4karo]

No tak. ale one nie sa roziązaniami ukłądu
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{3}-a^{2}x_{3}-ax_{2}-x_{1}=0 \\ b^{3}-b^{2}x_{3}-bx_{2}-x_{1}=0 \\ c^{3}-c^{2}x_{3}-cx_{2}-x_{1}=0 \end{cases}}\)

[Poszukujaca]

Trzy równania z naszego układu równań mówią nam, że pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}x_{3}-tx_{2}-x_{1}=0}\) są liczby \(\displaystyle{ a b, c}\), więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}x_{3}-tx_{2}-x_{1}=0 \Leftrightarrow (t-a)(t-b)(t-c)=0}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}(a+b+c)+t(ab+ac+bc)-abc=0}\).

Mając taką postać równania moge wyliczyć \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=abc \\ x_{2}=ab+ac+bc \\ x_{3}=a+b+c \end{cases}}\)

[a4karo]

tak wlasnie, tylko \(\displaystyle{ x_2}\) trochę zle

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ x_{2}=-ab-ac-bc}\).

A jak teraz z rozwiązywalnością tego układu?

[a4karo]

Przeanalizuj sobieprzypadki różnych a,b,c, i sprawdż, co się dzieje, gdy dwa z nich sa równe. Wreszcie gdy wszytskie trzy sa równe

[Poszukujaca]

1) gdy \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \Rightarrow det A \neq 0}\) układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=abc \\ x_{2}=-ab-ac-bc \\ x_{3}=a+b+c \end{cases}}\)

2) gdy \(\displaystyle{ a \neq b \wedge a=c \Rightarrow det A = 0}\) układ jest nieoznaczony
\(\displaystyle{ rz(A|B)=2<3}\) czyli zgodnie z tw. Kroneckera-Capellego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
Niech \(\displaystyle{ x_{3} \in R}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x_{2}=a^{2}+ab+b^{2}-x_{3}(a+b)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{3}ab-a^{2}b-ab^{2}}\)

3) gdy \(\displaystyle{ a= b \wedge a \neq c \Rightarrow det A = 0}\) układ nieoznaczony
\(\displaystyle{ rz(A|B)=2<3}\) czyli zgodnie z tw. Kroneckera-Capellego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
Niech \(\displaystyle{ x_{3} \in R}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ x_{2}=a^{2}+ac+c^{2}-x_{3}(a+c)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{3}ac-a^{2}c-ac^{2}}\)

4) gdy \(\displaystyle{ a=b=c \Rightarrow det A=0}\) a ponadto rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy 1? Właśnie co się wtedy dzieje?