(
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1105.pdfDzielenie macierzy, tak jak iloczyn, jest lewostronne lub prawostronne.
Załóżmy, że mamy macierze kwadratowe \(\displaystyle{ R, \ L, \ M, \ E}\), i macierz \(\displaystyle{ M}\) ma wyznacznik różny od zera:
\(\displaystyle{ det(M) \neq 0}\)
("R" jak "Right" - "Prawy")
("L" jak "Left" - "Lewy")
("M" jak "Matrix" - "Macierz")
("E" jak "Effect" - "Wynik") ("R" jak "Result" jest zajęte dla "Right")
Mając
\(\displaystyle{ L \cdot M = E}\) (równanie \(\displaystyle{ (1)}\))
oraz
\(\displaystyle{ M \cdot R = E}\) (równanie \(\displaystyle{ (2)}\))
(gdzie ustalona macierz \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą mnożoną, która daje ustalony wynik \(\displaystyle{ E}\), będąc mnożoną lewostronnie razy macierz \(\displaystyle{ L}\) lub prawostronnie razy macierz \(\displaystyle{ R}\)).
, możemy stwierdzić, że
\(\displaystyle{ L = E \cdot M ^{-1}}\) (równanie \(\displaystyle{ (*1)}\)) (gdy pomnożymy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Prawostronnie}}\))
\(\displaystyle{ R = M ^{-1} \cdot E}\) (równanie \(\displaystyle{ (*2)}\)) (gdy pomnożymy równanie \(\displaystyle{ (2)}\) obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Lewostronnie}}\)).
Działanie prowadzące z równania \(\displaystyle{ (1)}\) do równania \(\displaystyle{ (*1)}\), czyli mnożenie obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Prawostronnie}}\), nazywamy dzieleniem prawostronnym macierzy \(\displaystyle{ E}\) przez macierz \(\displaystyle{ M}\).
Dlaczego "prawostronnym", skoro w równaniu \(\displaystyle{ (1)}\) macierz \(\displaystyle{ L}\) jest z lewej strony macierzy \(\displaystyle{ M}\)?
Dlatego, że mnożymy obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Prawostronnie}}\).
Działanie prowadzące z równania \(\displaystyle{ (2)}\) do równania \(\displaystyle{ (*2)}\), czyli mnożenie obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Lewostronnie}}\), nazywamy dzieleniem lewostronnym macierzy \(\displaystyle{ E}\) przez macierz \(\displaystyle{ M}\).
Dlaczego "lewostronnym", skoro w równaniu \(\displaystyle{ (1)}\) macierz \(\displaystyle{ L}\) jest z prawej strony macierzy \(\displaystyle{ M}\)?
Dlatego, że mnożymy obustronnie razy \(\displaystyle{ M ^{-1} _{Lewostronnie}}\).
Czy spotkaliście się wcześniej z pojęciem dzielenia lewostronnego macierzy i dzielenia prawostronnego macierzy?
P.S.
A gdybyśmy mieli
\(\displaystyle{ L \cdot M \cdot R = E}\) (Równanie \(\displaystyle{ (3)}\))
to przeszlibyśmy z niego do równania
\(\displaystyle{ M = L ^{-1} * M * R ^{-1}}\) (Równanie \(\displaystyle{ (*3)}\))
za pomocą obustronnego pomnożenia Równania \(\displaystyle{ (3)}\) razy L ^{-1} _{Lewostronnie} oraz razy R ^{-1} _{Prawostronnie} (oczywiście przy założeniu, że \(\displaystyle{ det(L) \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ det(R) \neq 0}\))- to działanie ciężko by było jednoznacznie określić jako dzielenie lewe lub prawe macierzy \(\displaystyle{ M}\) przez iloczyn macierzy \(\displaystyle{ L}\) oraz \(\displaystyle{ R}\). Na pewno jest to dzielenie lewe macierzy \(\displaystyle{ M}\) przez macierz \(\displaystyle{ L}\) - wynik tego dzielenia lewego, dzielimy prawostronnie przez macierz \(\displaystyle{ R}\).
-----------------
W ten sam sposób pomyślałem o iloczynie skalarnym oraz iloczynie wektorowym wektorów.
Czy nie można by było, analogicznie do dzielenia macierzy, zdefiniować ilorazu skalarnego wektorów oraz ilorazu wektorowego wektorów?
Np. Mając iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = \vec{c}}\) (równanie \(\displaystyle{ [1]}\))
chcę otrzymać wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jako funkcję wektorów \(\displaystyle{ \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{c}}\)
oraz
chcę otrzymać wektor \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jako funkcję wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{c}}\).
Pierwsze działanie nazwę "iloraz skalarny prawy" (bo gdyby to było w przypadku macierzy, musiałbym obustronnie pomnożyć równanie \(\displaystyle{ [1]}\) razy odwrotność "b" Prawostronnie).
Drugie działanie nazwę "iloraz skalarny lewy" (bo gdyby to było w przypadku macierzy, musiałbym obustronnie pomnożyć równanie \(\displaystyle{ [1]}\) razy odwrotność "b" Lewostronnie).
Np. Mając iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}}\) (równanie \(\displaystyle{ [2]}\))
chcę otrzymać wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jako funkcję wektorów \(\displaystyle{ \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{c}}\)
oraz
chcę otrzymać wektor \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jako funkcję wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{c}}\).
Pierwsze działanie nazwę "iloraz wektorowy prawy" (bo gdyby to było w przypadku macierzy, musiałbym obustronnie pomnożyć równanie \(\displaystyle{ [2]}\) razy odwrotność "b" Prawostronnie).
Drugie działanie nazwę "iloraz wektorowy lewy" (bo gdyby to było w przypadku macierzy, musiałbym obustronnie pomnożyć równanie \(\displaystyle{ [2]}\) razy odwrotność "b" Lewostronnie).
Ciekawe, czy ktoś z Was się z tym spotkał? Myślał nad wprowadzeniem takiego działania?
