Cześć, mam kilka zadań, za których rozwiązanie byłbym bardzo wdzięczny:
1. Niech \(\displaystyle{ S,T \in L(V)}\) oraz niech \(\displaystyle{ ST=TS}\). Udowodnić, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ null(T- \lambda I)}\) jest niezmiennicza względem \(\displaystyle{ S}\) dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in F}\) (\(\displaystyle{ F \in Zespolone \vee F \in Rzeczywiste}\)).
2. Niech \(\displaystyle{ T \in L(V)}\) będzie izomorfizmem oraz niech \(\displaystyle{ \lambda \in F \setminus \left\{ 0\right\}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ T}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ T^{-1}}\).
3. Wyznaczyć wielomiany charakterystyczne i wartości własne następujących macierzy:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3+i&-1\\2i&1-i\end{array}\right]}\)
b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-1&-2\\2&1&-2\\1&-1&1\end{array}\right]}\)
Macierze, wielomiany, operatory
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Macierze, wielomiany, operatory
2. Można zrobić przez rozkład Jordana. Ładnie wtedy widać wszystko. Można też inaczej. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie wektorem własnym dla \(\displaystyle{ \lambda}\). Wtedy
\(\displaystyle{ T^{-1}x=T^{-1}\lambda^{-1}\lambda x=T^{-1}\lambda^{-1}Tx=\lambda^{-1}x}\)
co dowodzi tezy. W drugą stronę jest tak samo.
1. Jest bardzo proste. Wystarczy napisać tyle:
\(\displaystyle{ TSv=STv=S\lambda v=\lambda Sv}\),
i odpowiednio skomentować.
\(\displaystyle{ T^{-1}x=T^{-1}\lambda^{-1}\lambda x=T^{-1}\lambda^{-1}Tx=\lambda^{-1}x}\)
co dowodzi tezy. W drugą stronę jest tak samo.
1. Jest bardzo proste. Wystarczy napisać tyle:
\(\displaystyle{ TSv=STv=S\lambda v=\lambda Sv}\),
i odpowiednio skomentować.