Macierze, wielomiany, operatory

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Simon7319
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 21 lis 2014, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK

Macierze, wielomiany, operatory

Post autor: Simon7319 »

Cześć, mam kilka zadań, za których rozwiązanie byłbym bardzo wdzięczny:
1. Niech \(\displaystyle{ S,T \in L(V)}\) oraz niech \(\displaystyle{ ST=TS}\). Udowodnić, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ null(T- \lambda I)}\) jest niezmiennicza względem \(\displaystyle{ S}\) dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in F}\) (\(\displaystyle{ F \in Zespolone \vee F \in Rzeczywiste}\)).
2. Niech \(\displaystyle{ T \in L(V)}\) będzie izomorfizmem oraz niech \(\displaystyle{ \lambda \in F \setminus \left\{ 0\right\}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ T}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ T^{-1}}\).
3. Wyznaczyć wielomiany charakterystyczne i wartości własne następujących macierzy:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3+i&-1\\2i&1-i\end{array}\right]}\)

b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-1&-2\\2&1&-2\\1&-1&1\end{array}\right]}\)
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Macierze, wielomiany, operatory

Post autor: Medea 2 »

Trzecie jest najprostsze: wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ \det (A- \lambda I)}\), jego miejsca zerowe to wartości własne.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Macierze, wielomiany, operatory

Post autor: yorgin »

2. Można zrobić przez rozkład Jordana. Ładnie wtedy widać wszystko. Można też inaczej. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie wektorem własnym dla \(\displaystyle{ \lambda}\). Wtedy

\(\displaystyle{ T^{-1}x=T^{-1}\lambda^{-1}\lambda x=T^{-1}\lambda^{-1}Tx=\lambda^{-1}x}\)

co dowodzi tezy. W drugą stronę jest tak samo.

1. Jest bardzo proste. Wystarczy napisać tyle:

\(\displaystyle{ TSv=STv=S\lambda v=\lambda Sv}\),

i odpowiednio skomentować.
ODPOWIEDZ