Własności iloczynu skalarnego wektorów
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 9 maja 2015, o 23:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: zakopane
Własności iloczynu skalarnego wektorów
Udowodnij własności iloczynu skalarnego: przemiennosc, lacznosc mieszana, rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania, kwadrat sklalarny, nierownosc schwarza
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Własności iloczynu skalarnego wektorów
W czym jest problem? Czym jest kwadrat skalarny? Znasz definicje?
Chodzi o zwykły iloczyn skalarny, tzn. \(\displaystyle{ \langle x \mid y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i}\)? Jeśli tak, to przemienności dowodzi się tak:
\(\displaystyle{ \langle x \mid y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i= \sum_{i=1}^n y_ix_i= \langle y \mid x \rangle.}\)
To nie są trudne rzeczy, ale gotowca nie dostaniesz.
Chodzi o zwykły iloczyn skalarny, tzn. \(\displaystyle{ \langle x \mid y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i}\)? Jeśli tak, to przemienności dowodzi się tak:
\(\displaystyle{ \langle x \mid y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i= \sum_{i=1}^n y_ix_i= \langle y \mid x \rangle.}\)
To nie są trudne rzeczy, ale gotowca nie dostaniesz.
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Własności iloczynu skalarnego wektorów
\(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią rzeczywistą.
Rozdzielność iloczynu skalarnego względem sumy
\(\displaystyle{ (x+y|z)= \sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i}) z_{i}= \sum_{i=1}^{n}x_{i} z{i} + \sum_{i=1}^{n}y_{i}z_{i}= (x|z)+(y|z).}\)
Podobnie dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ (x+\lambda y| x+\lamba y)= (x|x)+\lambda (y|x)+\lambda(x|y) +\lambda^{2}(y|y)}\) (1)
Nierówność Schwarza
\(\displaystyle{ |(x|y)|^{2} \leq (x|x)(y|y)}\) (S)
Dowód:
Nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ y =0}\)
\(\displaystyle{ |(x|0 )|^{2} \leq (x|x)(0|0)=0.}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ y\neq 0.}\)
Wykorzystując nierówność (1)
\(\displaystyle{ (x|x)+\lambda(x|y)+ \lambda(x|y)+\lambda^{2}(y|y)\geq 0,}\)
i podstawiając w niej
\(\displaystyle{ \lambda = - \frac{(x|y)}{(y|y)},}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x|x) - \frac{|(x|y)|^{2}}{(y|y)}\geq 0.}\)
to znaczy nierówność (S).
Jeżeli \(\displaystyle{ (x|y)}\) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni X to równość
\(\displaystyle{ \left| x\right|^{2} = (x|x)}\) kwadrat skalarny ( kwadrat normy elementu \(\displaystyle{ x\in X}\) )
\(\displaystyle{ |x|^2 = \sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}= \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}= (x|x).}\)
Wzór \(\displaystyle{ |x| = \sqrt{(x|x)}\) (N)
określa normę w \(\displaystyle{ X.}\)
Przy użyciu (N) nierówność Schwarza możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ |(x|y)|\leq |x||y|.}\)
Rozdzielność iloczynu skalarnego względem sumy
\(\displaystyle{ (x+y|z)= \sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i}) z_{i}= \sum_{i=1}^{n}x_{i} z{i} + \sum_{i=1}^{n}y_{i}z_{i}= (x|z)+(y|z).}\)
Podobnie dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ (x+\lambda y| x+\lamba y)= (x|x)+\lambda (y|x)+\lambda(x|y) +\lambda^{2}(y|y)}\) (1)
Nierówność Schwarza
\(\displaystyle{ |(x|y)|^{2} \leq (x|x)(y|y)}\) (S)
Dowód:
Nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ y =0}\)
\(\displaystyle{ |(x|0 )|^{2} \leq (x|x)(0|0)=0.}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ y\neq 0.}\)
Wykorzystując nierówność (1)
\(\displaystyle{ (x|x)+\lambda(x|y)+ \lambda(x|y)+\lambda^{2}(y|y)\geq 0,}\)
i podstawiając w niej
\(\displaystyle{ \lambda = - \frac{(x|y)}{(y|y)},}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x|x) - \frac{|(x|y)|^{2}}{(y|y)}\geq 0.}\)
to znaczy nierówność (S).
Jeżeli \(\displaystyle{ (x|y)}\) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni X to równość
\(\displaystyle{ \left| x\right|^{2} = (x|x)}\) kwadrat skalarny ( kwadrat normy elementu \(\displaystyle{ x\in X}\) )
\(\displaystyle{ |x|^2 = \sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}= \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}= (x|x).}\)
Wzór \(\displaystyle{ |x| = \sqrt{(x|x)}\) (N)
określa normę w \(\displaystyle{ X.}\)
Przy użyciu (N) nierówność Schwarza możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ |(x|y)|\leq |x||y|.}\)