Wyznaczenie n spełniającego warunek

[Podroznik]

Wyznacz najmniejsze \(\displaystyle{ n \in N}\) takie, że \(\displaystyle{ 29^{99}+92^{n}\frac{11}{\sim}6}\)

Nie wiedziałem jak dać 11 nad tą falą i w sumie nie wiem, co to oznacza.

[SlotaWoj]

Jeśli zapiszesz poprawnie to, co trzeba wyznaczyć, będzie super.

[kerajs]

Ja także nie znam takiej notacji.

Może warto spróbować wymyślić treść do części zadania, a autor powie lub przypomni sobie czy pasuje ona do zadania lub przerabianego materiału.

Mój typ:.
Gdyby treść brzmiała:

Wyznacz najmniejsze \(\displaystyle{ n \in N}\) takie, że reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 29^{99}+92^{n}}\) przez 11 wynosi 6.

to rozwiązaniem byłoby : \(\displaystyle{ n=4}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ 92^4\mod11=3}\)
więc powinno być również
\(\displaystyle{ 29^{99}\mod11=3\ .}\)

1. Czy dobrze myślę?
2. Jak to sprawdzić?

[AndrzejK]

Nie, kerajs się pomylił. Zapewne chciał napisać \(\displaystyle{ n=3}\), bo wtedy \(\displaystyle{ 92^{3} \equiv 9 \pmod{11}}\)
\(\displaystyle{ 29^{99} \equiv (-4)^{99} \equiv (-64)^{33} \equiv 2^{33} \equiv (2^{11})^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \pmod{11}}\)

[Podroznik]

Dziękuję.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ 29^{99} \equiv (-4)^{99} \equiv (-64)^{33} \equiv 2^{33} \equiv (2^{11})^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \pmod{11}}\)

Arytmetyka modulo nie jest moją mocną stroną, dlatego proszę AndrzejaK o objaśnienie, skąd to się wzięło.

[Medea 2]

Kolejno: \(\displaystyle{ 29 - 3 \cdot 11 = -4}\), potem: \(\displaystyle{ 99 = 3 \cdot 33}\), więc trójkę można "wciągnąć do środka" (\(\displaystyle{ 4^3 = 64}\)), następnie: \(\displaystyle{ -64 + 6 \cdot 11 = 2}\), znowu rozbijamy wykładnik i korzystamy z \(\displaystyle{ 2^{11} \equiv 2 \pmod {11}}\) (małe twierdzenie Fermata?).

[SlotaWoj]

Medei 2 dziękuję za objaśnienie.