Wartość wektora - iloczyn skalarny

[Podroznik]

Mam problem z następującym zadaniem:
3. W \(\displaystyle{ M_{2x2}}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \overrightarrow{A}\circ\overrightarrow{B}=T_{r}A\left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&X\end{array}\right]B^{T}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x}\) kąt pomiędzy wektorami: \(\displaystyle{ \overrightarrow{A}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\0&1\end{array}\right]\overrightarrow{B}\left[\begin{array}{ccc}1&x\\2&0\end{array}\right]}\) wynosi \(\displaystyle{ 60^{o}.}\) Wyznacz w tym przypadku wartość liczbową \(\displaystyle{ \parallel\overrightarrow{B}\parallel}\)

[Medea 2]

Wskazówka. Jeśli masz dwa niezerowe wektory \(\displaystyle{ v, w}\), to kosinus kąta między nimi wynosi

\(\displaystyle{ \frac{v \circ w}{\|v\| \cdot \|w\|}.}\)

[Podroznik]

A co to jest to \(\displaystyle{ T_{r}}\) ewentualnie jest to \(\displaystyle{ T_{T}}\). Nie jestem pewny, bo ciężko mam niewyraźnie zapisane.

[PiotrowskiW]

Może to być tr ślad macierzy. Tak mi się wydaje.

[Podroznik]

\(\displaystyle{ \frac{\left[\begin{array}{ccc}2&4\\x^{2}+1&0\end{array}\right]}{0*(1-2x)}=\frac{1}{2}}\)
0 w mianowniku? Bez sensu.

[Medea 2]

Pokaż obliczenia. Moim zdaniem ślad, którego szukasz (\(\displaystyle{ A \circ A}\)) to \(\displaystyle{ 2x}\), ten drugi to \(\displaystyle{ 10+x^3}\). Wniosek: jesteś pewien, że to iloczyn skalarny?! Dla \(\displaystyle{ x}\) takiego, że \(\displaystyle{ x^3 = -10}\) dostajesz (macierz \(\displaystyle{ B}\)) wektor (niezerowy) długości zero.

[Podroznik]

\(\displaystyle{ T_{r}A=0+1=1}\)
\(\displaystyle{ B^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\x&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Licznik=\left[\begin{array}{ccc}2&4\\x^{2}+1&0\end{array}\right]}\)
Natomiast, co do mianownika. Rozumiem, że to nie jest iloczyn wyznaczników jak myślałem?

[Medea 2]

W postaci takiej, jak piszesz, nie za bardzo ma to sens. Iloczyn skalarny to skalar (jak sama nazwa wskazuje), więc moim skromnym zdaniem ślad jest całego iloczynu.

\(\displaystyle{ \|\cdot\|}\) to nie wyznacznik, tylko norma: pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego czegoś ze sobą.

[Podroznik]

Okej już ogarnąłem sobie wszystko i potrafię liczyć tak rzeczy, doszedłem też do takiego rozwiązania. Gorzej z wnioskowaniem, nie do końca rozumiem kiedy takie postacie są iloczynem skalarnym, a kiedy nie.

[Medea 2]

Podwójne kreski to norma, pojedyncze: wartość bezwzględna. Wyznacznik to prawie zawsze \(\displaystyle{ \det}\), chyba że masz podaną macierz wprost: wtedy nawiasy okrągłe to macierz, a pojedyncze kreski jej wyznacznik.

[Podroznik]

Nie, takie rzeczy już ogarniam. Chodzi, że dlaczego \(\displaystyle{ x^3 = -10}\) wychodzi, że to nie jest iloczyn skalarny.

[Medea 2]

Iloczyn skalarny ma taką własność: \(\displaystyle{ \langle a \mid a \rangle = 0 \iff a = 0}\). Kiedy \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem sześciennym z \(\displaystyle{ -10}\), ta własność nie zachodzi (bo \(\displaystyle{ B}\) nie jest zerem, a ma zerową długość).

[Podroznik]

Dziękuję