Zadania z macierzy - metoda eliminacji gaussa

[a4karo]

JAk widziałaś, masz do czynienia z ukłądem 4x4. Metoda Gaussa udało Ci sie wyeliminowac jeden wiersz. Oznacza to, że rząd tego ukłądu jest 3, a nie 4, a co za tym idzie wyznacznik główny ukłądu 4x4 jest równy zero. Stad prosty wniosek, że Cramer nie ma tu prawa pójść.

Możęsz natomiast zrobić Cramerem ukłąd 3x3, który otrzymałąś w piątej macierzy (tam, gdzie taki kawalek kodu wystaje ). Tylko zanim to zrobisz, musisz czwartą kolumnę przerzucić do kolumny wyrazów wolnych (wraz z parametrwm, Dla przykłądu pierwsze równanie będzie takie:
\(\displaystyle{ 5x+z=-9+6\alpha}\)

Powodzenia

[Pytajnik1]

Czyli wniosek taki, że jeśli otrzymam zadanie polegające na rozwiązaniu macierzy to raczej będzie jasno wyrażone czy ma być sposobem takim lub takim, bo widzę ze aby zrobić ten przyklad Cramerem, to trzeba troche pokombinowac...

[a4karo]

Jeśli nie będzie określone, to każda metoda jest dobra.

[Pytajnik1]

czy ten przyklad jest dobrze rozwiazany?


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&0&1&-2|-1\\1&2&-2&2|4\\0&-2&1&1 |3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&2|4\\-1&0&1&-2|-1\\0&-2&1&1 |3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&2|4\\0&2&-1&0|3\\0&-2&1&1 |3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&2|4\\0&1&-1/2&0|3/2\\0&-2&1&1 |3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&2|1\\0&1&-1/2&0|3/2\\0&0&0&1 |6\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&2|1\\0&1&-1/2&0|3/2\\0&0&1&2 |7\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&4|8\\0&1&0&1|5\\0&0&1&2 |7\end{array}\right]}\)


czyli;
x1+4x4=8
x2+x4=5
x3+2x4=7
x4 należy do R

x1=8-4x4
x2=5-x4
x3=7-2x4
x4 należy do R

[a4karo]

Z piątej macierzy mogłąs szybko skonczyć zabawę: odjąć od pierwszego wiersza dwa razy trzeci wiersz. Wtedy kolumny 1,2 i 4 tworzyłyby już układ taki, jak trzeba, a trzeciej zmiennej uzyłabyś jako parametru. (Oczywiście wszystko przez założeniu, że nie zrobiłas jakiegos błedu arytmetycznego - sorry, ale nie chce mi sie sprawdzac rachunków)

Mam jeszcze jedna watpliwość dotyczącą zapisu: otóz rozwiązanie układu równań jest CZWÓRKA liczb (x_1,x_2,x_3,x_4), więc ładniej byłoby zapisać rozwiązanie jako
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=8-4\alpha\\
x_2=5-\alpha\\
x_3=7-2\alpha\\
x_4=\alpha\end{cases}, \quad\alpha\in\RR}\)

[SlotaWoj]

Sposób na macierze, gdzie trzeba oddzielić kolumnę wyrazów wolnych jest taki:

• \(\displaystyle{ {\red{\left[}}{\black{{\begin{array}{cccc}-1&0&1&-2\\\frac{q}{p}&2&-2&2\\0&-2&1&1\end{array}}}{\green{\left|}}{\black{\begin{array}{c}-1\\4\\3\end{array}}}{\green{\right]}}}\)

[tex]left[egin{array}{cccc}-1&0&1&-2\frac{q}{p}&2&-2&2\0&-2&1&1end{array}left|egin{array}{c}-1\4\3end{array}
ight][/tex]

Macierzy głównej z prawej strony nie zamyka się nawiasem, zamiast tego dokleja się jednokolumnową macierz wyrazów wolnych z „left|” z lewej.

To samo można osiągnąć przy pomocy tabeli tabular:

• \(\displaystyle{ \left[\begin{tabular}{cccc|c}-1&0&1&-2&-1\\q/p&2&-2&2&4\\0&-2&1&1&3\end{tabular}\right]}\)

[tex]left[egin{tabular}{cccc|c}-1&0&1&-2&-1\q/p&2&-2&2&4\0&-2&1&1&3end{tabular}
ight][/tex]

tylko, że wówczas zawartość tabeli jest traktowana tekstowo i nie wszystkie komendy TeXa działają.

Edit: Poniżej jest jeszcze lepszy sposób.

[a4karo]

Dobry pomysł, tyle, że kompilator LaTeXa wyrzuci w pierwszym przykłądzie błąd, bo nie są "zmatchowane" komendy left i
ight. Po prostu gdzieś zabrakło
ight.

Alternatywa może tez być takie coś

Kod: Zaznacz cały

egin{bmatrix}
1 & 2 & | & 3\
frac{p}{q} & -5 & | &-7
end{bmatrix}

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2 & | & 3\\
\frac{p}{q} & -5 & | &-7
\end{bmatrix}}\)

[Pytajnik1]

Dziękuję za odpowiedzi, jednak rozumiem , że jeśli zrobiłam sobie w tej piątej macierzy tak jak zrobiłam to również jest to poprawne? (przy zalozeniu ze dobrze zrobilam rachunkowo).

[SlotaWoj]

Do A4karo!

Jak ma się kompilator LaTeXa, to pewnie ma się dostęp do większej liczby środowisk definicyjnych. Nie wiem jak z tym jest na Matematyka.pl.

Parser Wikipedii też się buntuje. Ale podglądnąłem tam coś innego i działa:

• \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c}-1&0&1&-2&-1\\\frac{q}{p}&2&-2&2&4\\0&-2&1&1&3\end{array}\right]}\)

tex]left[egin{array}{cccc|c}-1&0&1&-2&-1\frac{q}{p}&2&-2&2&4\0&-2&1&1&3end{array}
ight][/tex]

Pytajniku1! Popatrz na magiczny znak w „{cccc|c}” i stosuj.

[a4karo]

Dziękuję za odpowiedzi, jednak rozumiem , że jeśli zrobiłam sobie w tej piątej macierzy tak jak zrobiłam to również jest to poprawne? (przy zalozeniu ze dobrze zrobilam rachunkowo).

Tak, oczywiście, że jest OK

Jak ma się kompilator LaTeXa, to pewnie ma się dostęp do większej liczby środowisk definicyjnych. Nie wiem jak z tym jest na Matematyka.pl.

Ja tylko zwróciłem uwagę, że \(\displaystyle{ \LaTeX}\) wymaga, aby nawiasy (a takimi są konstrukcje left i
ight) były poprawnie pozamykane. Jeżeli z jakiegoś powodu jeden z tych nawiasów ma być pusty (tak jak w przypadku [|]) to wymagane jest wstawienie odpowiedniego "pustego" nawiasu, jakim jest
ight. (kropka jest własnie symbolem pustego nawiasu).

A zatem kod [tex]left(left|frac{a}{b}
ight)[/tex] będzie błędny, zaś [tex]left(left|frac{a}{b}
ight.
ight)[/tex] jest poprawny. Matematyka.pl zaś akceptuje oba, i chyba nie powinniśmy się z tego cieszyć.

NB. \(\displaystyle{ \LaTeX}\) jest darmowy i powszechnie dostępny na każdej platformie. Gorąco polecam