Podać przykład zbioru \(\displaystyle{ A}\), dla którego zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall \lambda\ge 0, \ \forall x\in A \quad \lambda x\in A}\),
ale nie zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall \lambda_1, \lambda_2\ge 0, \ \forall x_1, x_2\in A \quad \lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2\in A}\).
Przykład zbioru
-
szw1710
Przykład zbioru
Np. \(\displaystyle{ A=\{(x,y)\in\RR^2:xy=0\}}\).
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) spełniający pierwszy warunek, nazywamy klinem (ang. wedge). Zbiór spełniający drugi warunek nazywamy stożkiem (wypukłym, ang. (convex) cone).
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) spełniający pierwszy warunek, nazywamy klinem (ang. wedge). Zbiór spełniający drugi warunek nazywamy stożkiem (wypukłym, ang. (convex) cone).
-
Lasagne
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 2 lis 2014, o 14:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ełk
- Podziękował: 15 razy
Przykład zbioru
No to dajmy na to, że mamy \(\displaystyle{ x=(1,0)\in A}\).
Pierwszy warunek jest spełniony, bo \(\displaystyle{ \lambda(x_1,x_2)=(\lambda x_1, \lambda x_2)=(\lambda,0)\in A}\).
A drugi:
\(\displaystyle{ \lambda x_1+\lambda x_2=\lambda +0=\lambda}\)
To nie należy do zbioru A, bo ma tylko jedną współrzędną?
Pierwszy warunek jest spełniony, bo \(\displaystyle{ \lambda(x_1,x_2)=(\lambda x_1, \lambda x_2)=(\lambda,0)\in A}\).
A drugi:
\(\displaystyle{ \lambda x_1+\lambda x_2=\lambda +0=\lambda}\)
To nie należy do zbioru A, bo ma tylko jedną współrzędną?
-
szw1710
Przykład zbioru
\(\displaystyle{ x_1=(1,0),\;x_2=(0,1),\;\lambda_1=\lambda_2=1}\)
To gwoli kontrprzykładu na nie zachodzenie warunku 2. A dowodów nie zaczyna się od "na przykład". Niech \(\displaystyle{ x=(a,b)\in A}\). Więc \(\displaystyle{ ab=0}\). Dla \(\displaystyle{ \lambda\ge 0}\) mamy \(\displaystyle{ \lambda x=(\lambda a,\lambda b)}\), ale \(\displaystyle{ (\lambda a)\cdot(\lambda b)=\lambda^2ab=0}\), bo \(\displaystyle{ ab=0}\), więc dowód pierwszego warunku jest zakończony.
To gwoli kontrprzykładu na nie zachodzenie warunku 2. A dowodów nie zaczyna się od "na przykład". Niech \(\displaystyle{ x=(a,b)\in A}\). Więc \(\displaystyle{ ab=0}\). Dla \(\displaystyle{ \lambda\ge 0}\) mamy \(\displaystyle{ \lambda x=(\lambda a,\lambda b)}\), ale \(\displaystyle{ (\lambda a)\cdot(\lambda b)=\lambda^2ab=0}\), bo \(\displaystyle{ ab=0}\), więc dowód pierwszego warunku jest zakończony.