Sprowadzić za pomocą metody Largange'a formę kwadratowa dana w bazie standardowej przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) do postaci kanonicznej i znalezc baze kanoniczna tej formy.
\(\displaystyle{ q(x)= 2x_{1} x_{2} - 4x_{1} x_{3}}\)
Wiem, że trzeba zastosowac jakies podstawienie ale jak takie podstawienie w ogóle wymyślić ?
Postac kanoniczna formy kwadratowej
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Postac kanoniczna formy kwadratowej
Metoda Lagrange'a polega na uzupełnianiu formy do sumy (różnicy) kwadratów.
Forma nie zawiera kwadratów, więc stosujemy następujące podstawienia
\(\displaystyle{ x_{1}= y_{1}+y_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= y_{1} - y_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= y_{3},}\)
otrzymując tzw. formę stowarzyszoną do danej formy
Po tych podstawieniach forma przyjmuje postać
\(\displaystyle{ q(y_{1},y_{2},y_{3})= 2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})-4(y_{1}+y_{2})y_{3}=...=2(y^{2}_{1}-2y_{1}y_{3})-2(y^{2}_{2}+2y_{2}y_{3}).}\)
Uzupełniając wyrażenia w nawiasach, odpowiednio do kwadratu różnicy i sumy dwumianu
\(\displaystyle{ q(y_{1},y_{2},y_{3})= 2(y^{2}_{1}-2y_{1}y_{3}+y^{2}_{3})-2y^{2}_{3}-2 (y^{2}_{2}+2y_{2}y_{3}+y^{2}_{3})+2y^{2}_{3}= 2(y_{1}- y_{3})^{2}- 2(y_{2}+y_{3})^{2}.}\)
Kładąc
\(\displaystyle{ y_{1}- y_{3}= t_{1},}\)
\(\displaystyle{ y_{2}+y_{3}=t_{2},}\)
\(\displaystyle{ q(t_{1},t_{2}) = 2t^{2}_{1} - 2t^{2}_{2}.}\)
Aby znaleźć bazę kanoniczną formy, musimy wyrazić jej współrzędne \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}, x_{3})}\) przez współrzędne \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}+y_{2}= t_{1}+t_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=y_{1}-y_{2}= -2y_{3}= t_{1}- t_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= y_{3}= -\frac{1}{2}t_{1}+\frac{1}{2}t_{2}.}\)
Baza kanoniczna formy
\(\displaystyle{ B =\left\{ \left( 1,1, -\frac{1}{2}\right), \left(1- 1, \frac{1}{2}\right) \right\}.}\)
W tej bazie forma przyjmuje postać kanoniczną
\(\displaystyle{ q(x_{1},x_{2},x_{3})= 2 x^{2}_{1} - 2x^{2}_{2}+0x^{2}_{3}.}\)
Forma nie zawiera kwadratów, więc stosujemy następujące podstawienia
\(\displaystyle{ x_{1}= y_{1}+y_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= y_{1} - y_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= y_{3},}\)
otrzymując tzw. formę stowarzyszoną do danej formy
Po tych podstawieniach forma przyjmuje postać
\(\displaystyle{ q(y_{1},y_{2},y_{3})= 2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})-4(y_{1}+y_{2})y_{3}=...=2(y^{2}_{1}-2y_{1}y_{3})-2(y^{2}_{2}+2y_{2}y_{3}).}\)
Uzupełniając wyrażenia w nawiasach, odpowiednio do kwadratu różnicy i sumy dwumianu
\(\displaystyle{ q(y_{1},y_{2},y_{3})= 2(y^{2}_{1}-2y_{1}y_{3}+y^{2}_{3})-2y^{2}_{3}-2 (y^{2}_{2}+2y_{2}y_{3}+y^{2}_{3})+2y^{2}_{3}= 2(y_{1}- y_{3})^{2}- 2(y_{2}+y_{3})^{2}.}\)
Kładąc
\(\displaystyle{ y_{1}- y_{3}= t_{1},}\)
\(\displaystyle{ y_{2}+y_{3}=t_{2},}\)
\(\displaystyle{ q(t_{1},t_{2}) = 2t^{2}_{1} - 2t^{2}_{2}.}\)
Aby znaleźć bazę kanoniczną formy, musimy wyrazić jej współrzędne \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}, x_{3})}\) przez współrzędne \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}+y_{2}= t_{1}+t_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=y_{1}-y_{2}= -2y_{3}= t_{1}- t_{2},}\)
\(\displaystyle{ x_{3}= y_{3}= -\frac{1}{2}t_{1}+\frac{1}{2}t_{2}.}\)
Baza kanoniczna formy
\(\displaystyle{ B =\left\{ \left( 1,1, -\frac{1}{2}\right), \left(1- 1, \frac{1}{2}\right) \right\}.}\)
W tej bazie forma przyjmuje postać kanoniczną
\(\displaystyle{ q(x_{1},x_{2},x_{3})= 2 x^{2}_{1} - 2x^{2}_{2}+0x^{2}_{3}.}\)