Izomofrizm pomiędzy przestrzeniami

[novicjusz]

Dane są dwa skończone przestrzenie wektorowe \(\displaystyle{ V,W}\). Jeśli \(\displaystyle{ dim V = dim W}\) to istneije izomorfizm.

Udowodniłem to w prosty sposób za pomocą baz czyli funkcji \(\displaystyle{ f(v) = (\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n) = \lambda_1 w_1 + ... + \lambda_1 w_n}\).

Daną mam jednak formułę \(\displaystyle{ dim V = dim Im F + dim Ker F}\). Mogę za jej pomocą udowodnić moje zadanie? Injekcja i surjekcja są proste, ale najpierw potrzebuje do tego pokazać liniowość i tutaj moje pytanie.

Edit: Dla mojej formuły potrzebuję linowośc, więc masło maślane. Zapytam inaczej. Jak z \(\displaystyle{ dim V = dim W}\) udowodnić liniowość nie odnosząc się bezpośrednio do baz?

[leg14]

Ale przecież skpnstruowales bardzo naturalny izomorfizm miedzy tymi przestrzeniami.Zadanie zrobione.To ze jest on liniowy sobie zakladasz i z tej tożsamości z wymiarem jądra i obrazu udowadniasz, ze jest to mono i epimorfizm.

[yorgin]

Liniowości nie można założyć, liniowość trzeba pokazać. Nie da się jej wywnioskować z równości wymiarów, a jedynie ze wzoru na odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\), które swoją drogą jest dobrze dobrane.

P.S. Aby zadanie miało jednak sens, przestrzenie powinny być nad tym samym ciałem.

[novicjusz]

Wszystko jasne, dzięki.