Podaj wszystkie \(\displaystyle{ \beta \in \RR^{3}}\) takie, ze odwzorowanie \(\displaystyle{ f:\RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\)
\(\displaystyle{ f( \alpha ) = (\alpha \times \beta) + \alpha}\) jest izometria.
\(\displaystyle{ \beta = b_1i + b_2j + b_3k}\)
i,j,k to kolejne wektory bazy standardowej
\(\displaystyle{ M_{St}^{St} (f) = A}\) musi byc macierza ortogonalna, czyli \(\displaystyle{ A \cdot A^{T} = I}\) 1.
\(\displaystyle{ f(i) = (1, -b_3 , b_2), f(j)=(b_3,1,-b_1),f(k)=(-b_2,b_1,1)}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-b_3&b_2\\b_3&1&-b_1\\-b_2&b_1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A^{T}=\begin{bmatrix} 1&b_3&-b_2\\-b_3&1&b_1\\b_2&-b_1&1\end{bmatrix}}\)
Zatem z 1. :
\(\displaystyle{ b_2b_1= 0}\)
\(\displaystyle{ b_2^{2} + b_1^{2} = 0}\)
itd.
Zatem \(\displaystyle{ b_1=b_2=b_3 =0 \Rightarrow \beta=0}\)
Czy rozwiazanie do tego momentu jest poprawne?[chodzi raczej o idee a nie poszczegolne obliczenia]
Czym jest
\(\displaystyle{ (\alpha \times 0)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)?Zerem?
Z gory dziekuje za wszystkie odpowiedzi.