Witam.Mam takie zadanie:
[nad cialem \(\displaystyle{ RR^{3}}\) ]
Znajdz baze, w ktorej forma kwadratowa \(\displaystyle{ q}\) ma macierz diagonalna, gdzie
\(\displaystyle{ q(x,y,z) = x^2 +y^2 +z^2 -4xy -2yz}\)
Macierz tej formy w bazie standardowej [ a jednoczensie macierz funkcjonalu dwuliniowego \(\displaystyle{ h}\), ktory jest jednoznacznie przez nia okreslony ] to :
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&0\\-2&1&-1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)
Tak wiec zadanie sprowadza sie do znalezienia bazy prostopadlej \(\displaystyle{ h}\) , gdzie
1.\(\displaystyle{ h(x,y) = x^{T}Ay}\)
Bierzemy jako peirwszy jakis dowolny wektor np. \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) , a nastepnie z 1. wyznaczamy podprzestrzen wektorow do niego prostopadlych.Wyznaczamy z niej kolejny wektor itd.
I teraz moje pytanie- dlaczego w momencie wybrania tego dowolnego wektora, w tym wypadku \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), sprawdzamy czy jest on nieizotropowy?Czy tylko dlatego, ze wtedy po wyznaczeniu wektorow, ktore sa do tego wektora prostopadle moga sie tam znalezc wektory od niego zalezne?Czy jest jakis inny powod?Czy kiedy mamy okreslony funkcjonal symetryczny dwuliniowy to w bazie prostopadlej moga znajdowac sie wqektory izotropowe?Jesli nie to dlaczego?Z groy dziekuje za wszystkie odpowiedzi.