Wielomiany charakterystyczne

[neron0308]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, \(\displaystyle{ \varphi}\), \(\displaystyle{ \psi \in L(V)}\) i przynajmniej jedno z przekształceń jest odwracalne, to wielomiany charakterystyczne macierzy przekształceń \(\displaystyle{ \varphi \circ \psi}\) oraz \(\displaystyle{ \psi \circ \varphi}\) są takie same.

[adi020]

Niech \(\displaystyle{ A}\) - macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ B}\) -macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \psi}\)
Wtedy złożenie \(\displaystyle{ \varphi \circ \psi}\) jest równe macierzy \(\displaystyle{ AB}\), a złożenie\(\displaystyle{ \psi \circ \varphi}\) \(\displaystyle{ BA}\)
Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ B ^{-1}}\). Teraz:
\(\displaystyle{ B(AB)B^{-1}=BA(BB^{-1})=BA}\)
więc macierze \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BA}\) są podobne (istnieje macierz \(\displaystyle{ P}\) taka, że \(\displaystyle{ P^{-1}ABP=BA}\)).
Dowód na to, że macierze podobne mają takie same wielomiany charakterystyczne łatwo znajdziesz w necie.