macierze komutujące

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

macierze komutujące

Post autor: Yelon »

Pokazać, że dla dowolnej macierz kwadratowej \(\displaystyle{ A}\), macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ e ^{A}}\) komutują.
szw1710

macierze komutujące

Post autor: szw1710 »

Pokaż, że \(\displaystyle{ A\cdot A^k=A^k\cdot A}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\).
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

macierze komutujące

Post autor: Yelon »

\(\displaystyle{ A= PJP ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot A ^{k} = PJP ^{-1} \cdot PJ ^{k}P ^{-1}=PJ \cdot J ^{k}P ^{-1}=PJ ^{k+1}P ^{-1}}\) z drugiej strony będzie tak samo, bo mnożenie macierzy Jordana jest przemienne.
Co mi to daje?

edit; a no tak, teraz z przemienności wyżej pokazanej \(\displaystyle{ A \cdot \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{A ^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{A \cdot A ^{k}}{k!}}\). Dziękuję
ODPOWIEDZ