Rzut wektora na płaszczyznę

[Macck]

Witam mam zadanko takie:
Znaleźć rzut prostopadły wektora \(\displaystyle{ }\) na płaszczyzę \(\displaystyle{ 2x+3y-z-7=0}\)

Oto jak się zabrałem do tego
wyznaczę wektor jako równoległą składową wektora normalnego
obliczam iloczyn skalarny wektora a i wektora normalnego do płaszczyzny, przy okazji długości wektorów :
\(\displaystyle{ \left| \vec{a}=[1,0,-1]\right| = \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \vec{n}\right|= \sqrt{14}}\)


otrzymuję że \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{28} }}\)
mnożę długość wektora a razy otrzymany cosinus kąta, otrzymuje (jak mniemam) długość składowej równoległej do wektora normalnego \(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt{14} }}\).
Dzielę wektor normalny przez jego długość, otrzymuję wektor jednostkowy w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, mnożę go razy długość składowej równoległej wektora a.
Otrzymałem wynik \(\displaystyle{ \vec{a\perp}=[ \frac{6}{14} ,\frac{9}{14},\frac{-3}{14}]}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne? (przepraszam jeśli zadanie powinno było się znaleźć w geometrii analitycznej). Dodam że zadanie jest z listy z fizyki, i wolałbym uniknąć wchodzenia w parametryzację, bo jakoś nigdy nie potrafiłem się sprawnie w równaniach parametrycznych poruszać.

[SlotaWoj]

1. Użyty w temacie zadania termin rzut prostopadły jest synonimem terminu rzut prostokątny.
2. Rzut prostokątny wektora na płaszczyznę, zawarty jest w tej płaszczyźnie (leży na niej).
3. Twój wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{6}{14};\frac{9}{14};\frac{-3}{14}\right]}\) nie jest zawarty w płaszczyźnie \(\displaystyle{ 2x+3y-z=7}\), bo nie jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \left[2;3;-1\right]}\).

[Macck]

A jeśli odejmę od wektora początkowego jego składową równoległą do wektora normalnego płaszczyzny to otrzymam to czego szukamy w tym zadaniu?

[a4karo]

Najprościej tak: neżeli \(\displaystyle{ \nec{n}}\) jest wektorem normalnym, a \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest dany, to szukamy wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\), takiego, że \(\displaystyle{ (\vec{x},\nec{n})=0}\) oraz
\(\displaystyle{ \vec{a}=\alpha\vec{n}+\vec{x}}\)
żeby wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) wystarczy pomnożyć to równanie skalarnie przez \(\displaystyle{ \alpha}\).
Zatem tak, masz rację. Od wektora trzeba odjąć jedo składową w kierunku wektora normalnego.

[Macck]

Okej dzięki, czyli rozumowanie poniekąd poprawne, tylko że to miał być ten wektor który leży na płaszczyźnie, czytanie ze zrozumieniem...