Baza przestrzen

[robertos18]

Czy zbior \(\displaystyle{ B}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), gdy:

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ V=R ^{3}}\),odp\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1\\2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1\\2\end{bmatrix}}\)

Najpierw sprawdzam czy te wektory są liniowo niezależne wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}}\)

Nastepnie sprawdzam generowanie ( nie wiem na czym to polega), nie rozumiem tez o czym mnie informuje zapis \(\displaystyle{ V=R ^{3}}\)

[mostostalek]

\(\displaystyle{ V=R^3}\) Trójwymiarowa przestrzeń liczb rzeczywistych.. od kiedy te wektory są równe?? B jest oczywiście bazą w \(\displaystyle{ R^3}\) gdyż każdy wektor z tej przestrzeni da się przedstawić jako kombinację liniową wektorów z B..

[Piter9414]

Generowanie polega na tym, że sprawdzasz czy każdy wektor z tej przestrzeni jesteś w stanie przedstawić za pomocą wyznaczonych przez Cb wektorów bazowych. Jeśli tak będzie tzn. że wektory tworzą bazę w zadanej przestrzeni.

Wygląda to mniej wiecej tak:

\(\displaystyle{ a\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}}\)

Tutaj najprościej skorzystać z Twierdzenia Kroneckera Capellego.
Patrzysz że macierz współczynników (w wektorach) ma wyznacznik niezerowy tzn że układ przy trzech niewiadomych jest oznaczony.
Więc odpowiedź bedzie, że wektory tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

[mostostalek]

Trzebaby jeszcze zbadać liniową niezależność