Bazy ortogonalne i ortonormalne

[karolcia_23]

Hej czy ktoś może mi powiedzieć jak to jest gdy mamy sprawdzić:
1) czy baza jest ortonormalny to sprawdzamy czy długość wektora jest równa 1 i czy jest ortonognalny czyli czy iloczyn skalarny jest równy 0
2) a gdy trzeba zortogonalizować za pomocą metody Grama-Schmidta to stosujemy wzory
\(\displaystyle{ \vec{a'}=\vec{a}\\
\vec{b'}=\vec{b}+\alpha\vec{a'}\\
\vec{c'}=\vec{c}+\alpha\vec{a'}+\beta\vec{b'}}\)
oraz że iloczyny skalarne są równe 0
i czy jak to policze to potem muszę jeszcze dzielić te wektory przez ich długości?

[leg14]

Czym sa \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\) w tym wzorze, bo ne iwyglada to poprawnie.
W 1) dobrze, ale trzeba sprawdzic oratgonalnosc wektora ze wszystkimi pozostalymi wektoram iz bazy.

[karolcia_23]

tak miałam podane na zajęciach te \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
no tak iloczyn skalarny w ortogonalności każdy wektor z każdym sprawdzamy
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}\\
\vec{a} \times \vec{c}\\
\vec{b} \times \vec{c}}\)

[leg14]

Generalnie wzor na oratagonalizacje Grama -Schmidta wyglada tak:

\(\displaystyle{ \beta _i = \alpha _i - \frac{\left\langle \alpha _i,\beta_1\right\rangle }{\left\langle \beta_1,\beta_1\right\rangle }\cdot \beta_{1}- ... - \frac{\left\langle \alpha _i,\beta_{i-1}\right\rangle }{\left\langle \beta_{i-1},\beta_{i-1}\right\rangle } \cdot \beta_{i-1}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i}\) to wektory z jakiejkolwiek bazy oraz \(\displaystyle{ \beta_1 = \alpha_1}\)

Baza nie jest wtedy unormowana.

[karolcia_23]

a czy potem na koniec ortogonalizacji trzeba jeszcze ten wektor, który otrzymaliśmy dzielić przez jego długość?

[leg14]

Jezeli chcesz otrzymac baze znormalizowana to tak, jesli wystarczy Ci to , ze jest ortogonalna to nie.

[karolcia_23]

aha dziękuje