Wyznacz wymiar i bazę przestrzeni

[Piter9414]

Wyznacz wymiar i bazę przestrzeni:

\(\displaystyle{ R _{2} [x]}\)

\(\displaystyle{ \left\{ ax ^{2} + b : a,b \in R\right\}}\)

Ktoś coś pomoże bo nie wiem jak ten zapis rozpisać żeby móc coś wyliczyć.

Pozdrawiam
Piter9414

[leg14]

Jak wyglada baza standardowa przestrzeni \(\displaystyle{ R_{ [2] }}\) ?

[Piter9414]

Baza standardowa wygląda nastepująco:

\(\displaystyle{ f _{0} = (1, 0, 0)}\)

\(\displaystyle{ f _{0} = (0, 1, 0)}\)

\(\displaystyle{ f _{0} = (0, 0, 1)}\)

Czyli te wektory tworzą bazę ??

A wymiar przestrzeni będzie równy:

\(\displaystyle{ dimV = 3}\)

??

[leg14]

Mylisz przestrzen \(\displaystyle{ R^{n}}\) z [przetrzenia \(\displaystyle{ R_{[2]}}\)
W przestrzeni wielomianow stopnia co najwyzej drugiego lkazdy wielomian mozesz zapisac jako \(\displaystyle{ a_1 1 + a_2 x + a_3 x^2}\)
Zatem kazdy wektor z \(\displaystyle{ R_{[2]}}\) okreslaja trzy wspolrzedne, zatem \(\displaystyle{ dimR_{[2]}=3}\)
Sprobuj to teraz porownac z dana podprzestrzenia

Standardowa baza w \(\displaystyle{ R_{[2]}}\) to \(\displaystyle{ 1,x,x^2 \Leftrightarrow R_{[2]} = lin\left[1,x,x^2\right]}\)

[Piter9414]

To bazą standardową (kanoniczną?) będzie:

\(\displaystyle{ 1, x, x^{2}}\)

??

[leg14]

Tak

[Piter9414]

To w moim przypadku gdzie wielomian zapisany jest jako: \(\displaystyle{ a _{1}x^{2} + b*1}\)

to bazą tej przestrzeni będzie:

\(\displaystyle{ x^{2}, 1}\)

a wymiar:

\(\displaystyle{ dimV = 2}\)

??

[leg14]

Tak

[Piter9414]

Czyli błędem byłoby zapisanie że bazą tej przestrzeni jest:

\(\displaystyle{ x^{2}, 0, 1}\)

??

[leg14]

Byloby, wektor zerowy nigdy nie moze byc czescia bazy.

[Piter9414]

leg14, dziękuje bardzo za pomoc

Pozdrawiam