Macierz nieujemnie określona
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 16 gru 2011, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Macierz nieujemnie określona
W jaki sposób pokazać, że jeśli A jest macierzą o wymiarze \(\displaystyle{ n\times k}\) o pełnym rzędzie kolumnowym i \(\displaystyle{ n>k}\) to macierz \(\displaystyle{ AA^T}\) jest nieujemnie określona. Bardzo prosiłbym o dokładne rozpisanie.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Macierz nieujemnie określona
Macierz \(\displaystyle{ AA^T}\) jest symetryczna, więc posiada tylko rzeczywiste wartości własne.
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie rzeczywistą wartością własną i \(\displaystyle{ v}\) wektorem własnym skojarzonym z \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \lambda \left\langle v,v\right\rangle=\left\langle \lambda v,v\right\rangle=\left\langle AA^Tv, v\right\rangle =\left\langle A^Tv,A^Tv\right\rangle}\)
Z własności iloczynu skalarnego wynika teraz, że \(\displaystyle{ \lambda\geq 0}\), co kończy dowód.
Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie rzeczywistą wartością własną i \(\displaystyle{ v}\) wektorem własnym skojarzonym z \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \lambda \left\langle v,v\right\rangle=\left\langle \lambda v,v\right\rangle=\left\langle AA^Tv, v\right\rangle =\left\langle A^Tv,A^Tv\right\rangle}\)
Z własności iloczynu skalarnego wynika teraz, że \(\displaystyle{ \lambda\geq 0}\), co kończy dowód.
Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.