Macierz nieujemnie określona

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
niebieski93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 16 gru 2011, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Macierz nieujemnie określona

Post autor: niebieski93 »

W jaki sposób pokazać, że jeśli A jest macierzą o wymiarze \(\displaystyle{ n\times k}\) o pełnym rzędzie kolumnowym i \(\displaystyle{ n>k}\) to macierz \(\displaystyle{ AA^T}\) jest nieujemnie określona. Bardzo prosiłbym o dokładne rozpisanie.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Macierz nieujemnie określona

Post autor: yorgin »

Macierz \(\displaystyle{ AA^T}\) jest symetryczna, więc posiada tylko rzeczywiste wartości własne.

Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie rzeczywistą wartością własną i \(\displaystyle{ v}\) wektorem własnym skojarzonym z \(\displaystyle{ \lambda}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \lambda \left\langle v,v\right\rangle=\left\langle \lambda v,v\right\rangle=\left\langle AA^Tv, v\right\rangle =\left\langle A^Tv,A^Tv\right\rangle}\)

Z własności iloczynu skalarnego wynika teraz, że \(\displaystyle{ \lambda\geq 0}\), co kończy dowód.

Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.
ODPOWIEDZ