Czy iloczyn jest iloczynem skalarnym

[OceanFire]

Mam dane zadanie, które nawet znalazłem na forum ( podobna treść ), lecz nie ma tam udzielonej żadnej rzetelnej odpowiedzi

1. W przestrzeni wektorowej algebraicznej \(\displaystyle{ R^{2}}\) dany jest iloczyn \(\displaystyle{ (x|y)=x ^{T} Gy}\), gdzie \(\displaystyle{ G =\begin{bmatrix}1& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}&4\end{bmatrix}}\). Czy jest to iloczyn skalarny ?

Nie wiem jak się za to zadanie zabrać .
Siedziałem, szukałem, czytałem i niewiele mi to dało.

Pomoże ktoś ?

[szw1710]

Jak określona jest ta macierz?

[OceanFire]

Tak jak napisałem.
Macierz G jest dana.

[szw1710]

Ja wiem, że jest dana. Pytam jak jest określona w kontekście definicji iloczynu skalarnego. Co nazywamy iloczynem skalarnym?

[SlotaWoj]

Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są wektorami kolumnowymi, to \(\displaystyle{ x^TGy}\) jest iloczynem skalarnym wektorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ Gy}\).

[OceanFire]

Iloczyn skalarny jest to iloczyn 2 wektorów, w wyniku których dostajemy wynik, który jest skalarem.
W przypadku macierzowym \(\displaystyle{ A \cdot B = A^{T}B}\)-- 18 kwi 2015, o 23:02 --SlotaWoj rozumiem, ale dalej nie widzę jak mogę dzięki temu rozwiązać zadanie ?. Bo skoro x jest wektorem a G macierza to i tak co bym nie robił nie wyjdzie z tego skalar.

[SlotaWoj]

Właśnie taka jest definicja.

-- 18 kwi 2015, o 22:05 --

Zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są inaczej oznaczone niż \(\displaystyle{ G}\) (małe i wielkie litery).

Gdy \(\displaystyle{ y}\) jest wektorem kolumnowym, to \(\displaystyle{ Gy}\) też jest wektorem kolumnowym.

Przykład:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&\sqrt{5}\\\sqrt{5}&4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+3\sqrt{5}\\2\sqrt{5}+12\end{bmatrix}}\)

[a4karo]

Właśnie taka jest definicja.

-- 18 kwi 2015, o 22:05 --

Gdy \(\displaystyle{ y}\) jest wektorem kolumnowym, to \(\displaystyle{ Gy}\) też jest wektorem kolumnowym.

Dzieje się cos dziwnego. Mamy próbe zdefiniowania iloczynu skalarnego przeze iloczyn skalarny.


Iloczyn skalarny to dwulinioowe odwzorowanie przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ (x,x)\geq 0}\) i \(\displaystyle{ (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0}\)


Natomiast w zadaniu masz po prostu iloczyn trzech macierzy \(\displaystyle{ x^TGx}\) i masz sprawdzić, czy zachodza te dwa warunki (dwuliniowośc jest oczywista)

[OceanFire]

Czyli jeżeli w tym przypadku macierz nie jest dodatnio określona, to nie będzie to iloczyn skalarny ?
Bo nie wiem czy dalej to dobrze rozumiem.

[szw1710]

Jest tak jak mówisz. O to pytałem na początku.

[SlotaWoj]

No to ja się też czegoś nauczyłem.