Witam
W zadaniu mam sprawdzić czy zbiór przekształceń
\(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\)
o wzorze
\(\displaystyle{ f(x) = ax+b , b \in R}\)
z działaniem składania przekształceń jest grupą. Czy jest grupą abelową.
No i najwiekszym problemem będzie chyba złozenie aż trzech przekształceń.
ale do rzeczy
mam trzy wzory
\(\displaystyle{ f(x) = a _{f}x +b _{f}}\)
\(\displaystyle{ g(x) = a _{g}x +b _{g}}\)
\(\displaystyle{ h(x) = a _{h}x +b _{h}}\)
Pierwszy aksjomat grupy:
\(\displaystyle{ 1)}\)Łączność
\(\displaystyle{ \left( f(x)\circ g(x)\right) \circ h(x) = f(x)\circ \left( g(x) \circ h(x)\right)}\)
składam po kolei
\(\displaystyle{ f(x)\circ g(x) = f\left( g(x)\right)}\)
\(\displaystyle{ f\left( g(x)\right) \circ h(x) = f\left( g\left( h(x)\right) \right)}\)
\(\displaystyle{ f\left( g(x)\right) = a _{f}g(x) +b _{f} = a _{f}(a _{g}x +b _{g}) +b _{f}}\)
\(\displaystyle{ f\left( g\left( h(x)\right) \right) = a _{f}(a _{g}(h(x)) +b _{g}) +b _{f}}\)
\(\displaystyle{ f\left( g\left( h(x)\right) \right) = a _{f}(a _{g}(a _{h}x +b _{h}) +b _{g}) +b _{f}}\)
Następnie druga strona czyli:
\(\displaystyle{ f(x)\circ \left( g(x) \circ h(x)\right)}\)
\(\displaystyle{ g(x) \circ h(x) = g\left( h(x)\right) = (a _{g}(h(x)) +b _{g}) = (a _{g}(a _{h}x +b _{h}) +b _{g})}\)
\(\displaystyle{ f\left( g\left( h(x)\right) \right) = a _{f}(g(h(x))) +b _{f} = a _{f}(a _{g}(a _{h}x +b _{h}) +b _{g}) +b _{f}}\)
a więc widać z mojego powyzszego przekształcenia, ze lewa strona równa się prawej więc łączność zachodzi.
I czy ja powyższe złożenia przekształceń wykonalem poprawnie ??
Kolejny aksjomat:
\(\displaystyle{ 2)}\) Element neutralny
\(\displaystyle{ f(x) \circ e = f(x)}\)
to wychodzi że elementem neutralny działania składania przekształceń jest wielomian
\(\displaystyle{ e = x}\)
czy dobrze ?? bo po złożeniu wychodzi taka sama postać funkcji.
\(\displaystyle{ 3)}\) Element odwrotny
\(\displaystyle{ f(x) \circ f(x) ^{-1} = e}\)
\(\displaystyle{ f(x) ^{-1} = \frac{1}{a}x - \frac{1}{a} b}\)
Tutaj też jest spełnione. Czyli jest grupą.
\(\displaystyle{ 4)}\) Przemienność
\(\displaystyle{ f(x) circ g(x) = g(x) circ \(\displaystyle{ f(x)}\)}\)
\(\displaystyle{ a _{f}(a _{g}x +b _{g}) +b _{f} \neq a _{g}(a _{f}x +b _{f}) +b _{g}}\)
Czyli wychodzi że jest to grupa ale nie jest to grupa abelowa.
Czy takie rozwiązanie zadania jest poprawne ?? Czy dobrze składam przekształcenia ??
Pozdrawiam
Piter9414
Składanie przekształceń
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Składanie przekształceń
Składanie dowolnych funkcji jest łączne Pomijam drobne usterki techniczne, jak: "to wychodzi że elementem neutralny działania składania przekształceń jest wielomian" (elementem neutralnym jest funkcja wielomianowa...). I zastrzeżenie co do przemienności: jeśli podajesz kontrprzykład, to podawaj kontrprzykład, np. \(\displaystyle{ f(x) = 2x+3}\), \(\displaystyle{ g(x) = 3x + 1}\), wtedy \(\displaystyle{ (g \circ f)(x) = 6x+10}\), ale \(\displaystyle{ (f \circ g)(x) = 6x + 5}\).