Kombinacja liniowa wektorów.

[Ajax]

Jak sprawdzić czy wekor \(\displaystyle{ B=[1,1,2]}\) Jest kombinacją liniową wektorów:

\(\displaystyle{ a1[1,0,2] a2[1,1,1] a3[1,2,0]}\)

Ponadto chciałbym by ktoś to rozwiązał zarówno dla R jak i pod ciałem Z3 np.

[neverek]

wektor jest kombinacją liniową jeśli \(\displaystyle{ [1,1,2] = a_{1}[1,0,2]+a_{2}[1,1,1]+a_{3}[1,2,0]}\)

zatem rozwiązujesz układ trzech równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}+a_{2}+a_{3}=1\\a_{2}+2a_{3}=1\\2a_{1}+a_{2}=2 \end{cases}}\)

[Arhen]

Widzę, że mój prowadzący lubi stare zadania bo mam dokładnie takie samo.

Czy mógłbym prosić o kompletne rozwiązanie w przestrzeni \(\displaystyle{ Z _{5}}\) , bo boję się, że moja radosna twórczość może nie być zgodna z prawdziwą matematyką

[miki999]

bo boję się, że moja radosna twórczość może nie być zgodna z prawdziwą matematyką

Nie dowiemy się tego, póki nie ujrzy ona światła dziennego.


Pozdrawiam.

[Arhen]

Wymyśliłem coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ y+2z=1 \\ 2x+y=2 \end{cases}}\)

Wyliczam x z równania 1:
\(\displaystyle{ x=1-y-z}\)

Podstawiam do pozostałych równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y+2z=1 \\ 2(1-y-z)+y=2 \end{cases}}\)
Po wymnożeniu i skróceniu dostaję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y+2z=1 \\ -y-2z=0 \end{cases}}\)
Wymnażam drugie równianie przez (-1):
\(\displaystyle{ \begin{cases} y+2z=1 \\ y+2z=0 \end{cases}}\)
I teraz odejmuję równania od siebie:
\(\displaystyle{ (1-1)y+(2-2)z=1-0}\)

I to chyba nie jest to co powinno wyjść w tym zadaniu, dlatego proszę o pomoc bo matematyka nie jest niestety moją mocną stroną

[miki999]

Zatem podany wektor nie jest kombinacją przedstawionych wektorów (bo masz równanie sprzeczne).

[Arhen]

Ale ma sens to co napisałem?

[miki999]

Tak, o ile wysuniesz odpowiedni wniosek.

[Arhen]

Dziękuję za pomoc przy zadaniu. Pozdrawiam.