Równanie macierzowe - macierz prostokątna razy macierz X.

[damiano444-92]

Witam, mam następujący problem:

Chcę rozwiązać następujące równanie macierzowe:
\(\displaystyle{ A(axb) * X(bxc) = B(axc)}\)

Występują w nim poniższe macierze:
\(\displaystyle{ A(axb)}\) - macierz prostokątna o wymiarach a na b
\(\displaystyle{ X(bxc)}\) - macierz prostokątna o wymiarach b na c
\(\displaystyle{ B(axc)}\) - macierz prostokątna o wymiarach a na c

Chcąc rozwiązać to równanie, nie mogę obustronnie pomnożyć tego równania lewostronnie razy macierz odwrotną do macierzy A, ponieważ macierz A nie jest macierzą kwadratową (a możemy policzyć macierze odwrotne tylko dla macierzy kwadratowych).
(Przekształcenie
\(\displaystyle{ A(axb) * X(bxc) = B(axc) \ | * (A^{(-1)})_{Lewostronnie}}\)
jest niewykonalne, ponieważ macierz A nie jest macierzą kwadratową.)

Moje pytanie brzmi:
Jak należy rozwiązać tego typu równania?

[kerajs]

wersja 1.
Można elementy macierzy X przedstawić jako niewiadome
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{ccc}x _{1,1} & ... & x _{1,c}\\ ...& & ...\\x _{b,1} & ... & x _{b,c}\end{array}\right]}\)
dokonać mnożenia \(\displaystyle{ A \cdot X}\) i elementy w uzyskanej macierzy porównać z adekwatnymi elementami imacierzy \(\displaystyle{ C}\) uzyskując układ równań. Jego rozwiązanie da elementy macierzy \(\displaystyle{ X}\).

Przykładowa macierz \(\displaystyle{ X _{3 \times 2}}\):
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\e&f\end{array}\right]}\)

wersja 2.
Możesz równanie lewostronnie pomnożyć przez \(\displaystyle{ A ^{T}}\) uzyskując macierz kwadratową z iloczynu \(\displaystyle{ A ^{T}A}\) (i mając nadzieję że nie jest ona osobliwa).

[damiano444-92]

Dzięki za odpowiedź.

Teraz właśnie, w związku z wyrażeniem "(i mając nadzieję że nie jest ona osobliwa).", jakiego użyłeś, nasunęło mi się kolejne pytanie:

Jeśli mamy równanie macierzowe
\(\displaystyle{ A _{nxn} * X _{nxa} = B _{nxa}}\)
, w którym macierz \(\displaystyle{ A _{nxn}}\) jest osobliwa (tzn. \(\displaystyle{ det(A) = 0}\)
, to znowu nie mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ A _{nxn} * X _{nxa} = B _{nxa} \ | * (A^{(-1)})_{Lewostronnie}}\)
A to dlatego, że ponieważ \(\displaystyle{ det(A) = 0}\), to nie ma macierzy \(\displaystyle{ A^{(-1)}}\).

Czyli biorąc Twoje dwie metody, mamy:

Metoda 1.
Wymnażam po lewej stronie \(\displaystyle{ A _{nxn} * X _{nxa}}\) i otrzymuję macierz powierzmy \(\displaystyle{ L _{nxa} = A _{nxn} * X _{nxa}}\).
Potem odpowiadające sobie wyrazy macierzy \(\displaystyle{ L}\) i macierzy \(\displaystyle{ B}\) przyrównuję do siebie. W ten sposób otrzymuję układ równań.
Gdy go rozwiążę, otrzymam rozwiązanie.

Metoda 2.
Teraz już mnożenie obustronne razy \(\displaystyle{ (A^{T}) _{Lewostronnie}}\) jest chyba bez sensu.
Bo macierz \(\displaystyle{ A^{T} _{nxn} * A _{nxn} = K _{nxn}}\) też jest macierzą osobliwą \(\displaystyle{ det(K) = 0}\), dobrze myślę?
Czyli jak będę miał
\(\displaystyle{ A _{nxn} * X _{nxa} = B _{nxa} \ | * (A^{T}_{Lewostronnie}}\)
\(\displaystyle{ (A^{T})_{nxn} * A _{nxn} * X _{nxa} = (A^{T})_{nxn} * B _{nxa}}\)
\(\displaystyle{ K_{nxn} * X _{nxa} = P _{nxa}}\)
No i właśnie w tej sytuacji nie mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ K_{nxn} * X _{nxa} = P _{nxa} \ | * ((K^{(-1)}) _{nxn} )_{Lewostronnie}}\)
, bo \(\displaystyle{ det(K) = 0}\), tak?

[kerajs]

,,Metody' to zdecydowanie za duże słowo na zaledwie ,,sposoby' rozwiązania tego równania.

Wymnażam po lewej stronie \(\displaystyle{ A _{nxn} * X _{nxa}}\) i otrzymuję macierz powierzmy \(\displaystyle{ L _{nxa} = A _{nxn} * X _{nxa}}\).
Potem odpowiadające sobie wyrazy macierzy \(\displaystyle{ L}\) i macierzy \(\displaystyle{ B}\) przyrównuję do siebie. W ten sposób otrzymuję układ równań.
Gdy go rozwiążę, otrzymam rozwiązanie.

Tak. I ja w ten sposób bym to rozwiązywał.

Teraz już mnożenie obustronne razy \(\displaystyle{ (A^{T}) _{Lewostronnie}}\) jest chyba bez sensu.
Bo macierz \(\displaystyle{ A^{T} _{nxn} * A _{nxn} = K _{nxn}}\) też jest macierzą osobliwą \(\displaystyle{ det(K) = 0}\), dobrze myślę?

Niekoniecznie tak jest. Przykład:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right] \ , \ B=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A \cdot A ^{T} \ , \ B ^{T} \cdot B}\) jest osobliwa
\(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A \ , \ B \cdot B ^{T}}\) nie jest osobliwa

Dlatego ja wolę wersję 1.