Wyznacznik macierzy symetrycznej.

[Walczi]

Wykaż ze wyznacznik macierzy symetrycznej jest rowny iloczynowi jej wartosci wlasnych-- 15 kwi 2015, o 14:00 --Wskazowka : udowodnij ze wartosci wlasne macierzy \(\displaystyle{ A^{T}A}\)są kwadratami wartości własnych A

[kicaj]

Niech \(\displaystyle{ p_A (t)=\det (tI-A)}\) będzie wielomianem charakterystycznym macierzy \(\displaystyle{ A.}\)
Z zasadniczego twierdzenia algebry wynika, że \(\displaystyle{ p_A (t) =(t-t_1) (t-t_2 )...(t-t_n )}\) gdzie \(\displaystyle{ t_1,t_2, ... ,t_n}\) są wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A.}\)
Ponadto

\(\displaystyle{ p_A (t) =\det (0-A) =(-1)^n \det A}\)

oraz

\(\displaystyle{ p_A (t) =(0-t_1 )(0-t_2 )...(0-t_n ) =(-1)^n t_1 \cdot t_2 \cdot ...\cdot t_n}\)

zatem

\(\displaystyle{ \det A= t_1 \cdot t_2 \cdot ...\cdot t_n .}\)

[yorgin]

Inne rozwiązanie:

Wartości własne takiej macierzy są rzeczywiste. Niech \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\) będzie jej rozkładem Jordana. Wtedy

\(\displaystyle{ \det A=\det J}\).

Skoro \(\displaystyle{ J}\) ma wartości własne rzeczywiste, to jest diagonalna i wtedy jej wyznacznik to iloczyn wyrazów na przekątnej, czyli iloczyn wartości własnych.