Sprawdz czy zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowe

[Piter9414]

Witam

Treść zadania brzmi:
Dana jest przestrzeń liniowa: \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

podany jest podzbior: \(\displaystyle{ X = \left\{ ax^{2}+b \in R_{2}[x] : a,b \in R\right\}}\)

Należy sprawdzić czy X jest podprzestrzenią wektorową \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

wieć zrobiłem to tak.

1) Zbiór \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ \subset}\) \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

2) Zbiór i przestrzeń określone sa na tym samym ciele, ciele \(\displaystyle{ R}\)

3) I w tym kroku sprawdzam addytywność wektorów z \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\)

i wychodzi mi wynik dla dowolnów dwóch wektorów z \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) suma ich nie należy do \(\displaystyle{ X}\)
bo wyszło mi :

\(\displaystyle{ (a _{1} +a _{2} )x^{2} + (b _{1} + b_{2} )x + c _{1} +c _{2}}\)

no i jak dla mnie nie należy to do zbioru \(\displaystyle{ X = \left\{ ax^{2}+b \in R_{2}[x] : a,b \in R\right\}}\)

bo mamy tutaj \(\displaystyle{ ax^{2}+b}\) a nie \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\)

jednorodności nie sprawdzałem bo już teraz mi wyszło ze nie jest to podprzestrzeń.

I tutaj pytanie czy taka analiza i rozwiązanie zadania jest poprawne ?

Pozdrawiam
Piter9414

[Kaf]

Nie. Masz sprawdzić, czy suma dwóch elementów \(\displaystyle{ X}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), a Ty sprawdzasz, czy suma dwóch elementów \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) należy do \(\displaystyle{ X}\) (gdyby taki warunek był w definicji podprzestrzeni, to jedyną podprzestrzenią dowolnej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) byłoby \(\displaystyle{ V}\)).

[Piter9414]

czyli 3 warunek brzmi następująco ??

że dla dowolnych dwóch wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) ich suma należy do przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ \left( a _{1} x ^{2} +b _{1} \right) + \left( a _{2} X ^{2} +b _{2} \right)}\)

a to sie równa:

\(\displaystyle{ \left( (a _{1}+a _{2}) x ^{2} +b _{1}+b _{2} \right)}\)

wiec tutaj ta powyższa forma należy do przestrzeni \(\displaystyle{ X[x]}\)

a do tego kolejny warunek to dla dowolnego wektora ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) i dla dowolnego skalara \(\displaystyle{ \alpha \in R}\), iloczyn

\(\displaystyle{ \left( \alpha \cdot \left( a _{1} x ^{2} +b _{1} \right)\right) \in X}\)

więc

\(\displaystyle{ \left( \alpha *a _{1} x ^{2} + \alpha* b _{1}\right) \in X}\)

Czyli podany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) czy tak??

Wynik teraz jest poprawny?? Dobrze sprawdziłem że jest podprzestrzenią ?? Czy może nie jest podprzestrzenią ??
I czy tylko te czwtery warunki(te tutaj i wyżej w pierwszym poście który podałem) należy sprawdzać ?? bo w definicji znalazłem tylko te cztery.

[Kaf]

Teraz jest dobrze. Dziwi mnie jednak trochę warunek 2)

2) Zbiór i przestrzeń określone sa na tym samym ciele, ciele \(\displaystyle{ R}\)

Jeśli już, to powinno

]2) Zbiór i przestrzeń określone są nad tym samym ciałem, ciałem \(\displaystyle{ \RR}\)

Ale zbiór jako tako nie jest określony nad żadnym ciałem. Fakt, aby badać, czy zbiór jest podprzestrzenią, korzystamy ze struktury liniowej przestrzeni, więc i z ciała, nad którym rozważamy przestrzenie liniowe, ale sam zbiór nie jest określony nad żadnym ciałem. Podprzestrzeń liniowa jest zbiorem. Zawsze rozważamy podprzestrzeń jakiejś przestrzeni, cała struktura liniowa jest nam dana przez tę przestrzeń, więc powyższy warunek nie ma większego sensu.

[Piter9414]

Kaf, Dziękuję bardzo za pomoc bo tutaj miałem wątpliwości

A tutaj to ciało to chodzi o strukture algebraiczną tak ?? bo ja myślałem że tutaj ciało traktujemy tylko jako np zbiór liczb rzeczywistych czyli ciało liczb rzeczywistych.

[Kaf]

Tak, ciało to jakiś zbiór razem ze swoją strukturą algebraiczna, tj. dodawanie i odejmowanie (i wyróżnione elementy). Ogólnie (prawie) zawsze w matematyce rozważa się zbiór (czegokolwiek, zbiór składający się z liczb, innych zbiorów, funkcji, zbiór śliwek, psów...) z jakąś dodatkową strukturą. Weźmy sobie więc jakiś zbiór \(\displaystyle{ K}\). I tak dajemy jakieś jedno fajne działanie (tzn. o pewnych pożądanych własnościach) do tego zbioru i mamy grupę. Dodać do tego inne fajne działanie współgrające z poprzednim i dostaniemy pierścień. Jak działania będą naprawdę dobre, to mamy ciało. Zróbmy mały krok w bok. Weźmy jakiś inny zbiór, powiedzmy \(\displaystyle{ V}\). Ustalmy sobie, czym jest dodawanie elementów \(\displaystyle{ V}\) i (to bardzo ważne) czym jest mnożenie elementów \(\displaystyle{ V}\) przez elementy \(\displaystyle{ K}\). Jeżeli te operacje spełniają pewne warunki, to otrzymujemy przestrzeń liniową. Czemu nie pójść dalej? Powiedzmy, chcemy każdemu elementowi \(\displaystyle{ V}\) przypisać jego długość (taka atrakcja wymaga niestety, aby \(\displaystyle{ K = \RR}\) lub \(\displaystyle{ K = \CC}\), przy czym pamiętaj, że chodzi nam o ciało, więc nie tylko sam zbiór, ale i działania i elementy wyróżnione; to, że piszemy sam symbol zbioru to tylko uproszczenie zapisu, by nie musieć tak dużo pisać). Niech ta operacja spełnia kilka intuicyjnych warunków, i voila, mamy przestrzeń unormowaną. A skoro mamy normę, to mamy i metrykę, a skoro metrykę, to i topologię (można też w drugą stronę: skoro mamy normę, to być może mamy iloczyn skalarny). A może uogólnijmy to? Weźmy jakąś przestrzeń liniową i określmy na niej jakąś porządną topologię (tj. taką, że operacje, które na początku określiliśmy są ciągłe i że ta topologia jest \(\displaystyle{ T_1}\)). Takim oto sposobem otrzymujemy przestrzeń liniowo-topologiczną. Oczywiście różnych możliwych struktur matematycznych jest dużo więcej, tu wymieniłem raptem kilka...

Przepraszam za ogólny zamęt w powyższym, no cóż, wena twórcza mnie poniosła

Odpowiadając krótko na Twoje pytanie: tak, chodzi nam o ciało jako zbiór razem ze strukturą alegebraiczną.

[Piter9414]

Kaf, Dziękuje bardzo ślicznie za ten powyższy wywód gdyż przyda mi się on nie tylko do przesztrzeni ale polepszył moje postrzeganie algebry abstrakcyjnej.

Pozdrawiam serdecznie