Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?

[Piter9414]

Witam

W przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\) jest określone nastepujące działanie:

\(\displaystyle{ a \cdot b = a ^{T} Hb}\)

przy czym H jest to macierz dana wzorem:

\(\displaystyle{ H = \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2}&8\end{array}\right]}\)

Sprawdź czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?

Wiec potrzebuje rady czy mój tok postepowania jest poprawny.

Otóż widząc co to iloczyn skalarny można wyliczyć co wyjdzie z pomnożenie dwóch wektorów a i b:

\(\displaystyle{ \left[ a _{1} ,a _{2} \right] \cdot \left[ b_{1} ,b _{2} \right] = a _{1}b _{1} + a _{2}b _{2}}\)

według zapisu \(\displaystyle{ a \cdot b = a ^{T} Hb}\) wykonuje następujące działanie:

\(\displaystyle{ \left[ a _{1} ,a _{2}\right] * \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2}&8\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}b _{1} \\b _{2} \end{array}\right]}\)

Po wymnozeniu wychodzi :

\(\displaystyle{ a _{1} b _{1} + \sqrt{2} a _{2} b _{1} + \sqrt{2} a _{1} b _{2} + 8a _{2} b _{2}}\)

No i jak dla mnie nie pokrywa to sie z iloczynem skalarnym i według mnie nie to działanie nie jest iloczynem skalarnym.

Czy robie to dobrze ??

Pozdrawiam
Piter9414

[Medea 2]

Źle, bo iloczyn skalarny to dwuliniowa funkcja \(\displaystyle{ \mathbb R^2 \times \mathbb R^2\to \mathbb R}\), która ma pewne własności. Spójrz na , musisz zbadać macierz.

[Piter9414]

A czy mogłabyś nieco pokierować mnie w jaki sposób tą macierz sprawdzić ??

-- 13 kwi 2015, o 01:58 --

Czy dobrze wyczytałem, że macierz \(\displaystyle{ H}\) musi być symetryczna ??

Więc \(\displaystyle{ H = H ^{T}}\)

A dla danej macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] ^{T}}\)

Macierz jest symetryczna, więc jest to iloczyn skalarny tak ??

[Medea 2]

Gdyby to było takie łatwe... Jesteś pewien, że przeczytałeś artykuł? Musisz jeszcze sprawdzić, czy jest dodatnio określona. I nie wiem, czy nie musisz dowieść najpierw, że klasyczna definicja iloczynu skalarnego jest równoważna tej (może miałeś to już na zajęciach).

[Piter9414]

Sprawdzić czy jest dodatnio określona tzn, że należy sprawdzić czy wyznacznik macierzy jest większy od zera i wszystkie podwyznaczniki muszą być większe od zera tak ??

W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{c}1\end{array}\right| > 0}\)

i

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2} &8\end{array}\right| > 0}\)

te warunki trzeba sprawdzić ??

-- 13 kwi 2015, o 22:39 --

Chyba już sobie poradziłem. Macierz jest dodatnio określona, więc ta funkcja jest iloczynem skalarnym.