Witam
W przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\) jest określone nastepujące działanie:
\(\displaystyle{ a \cdot b = a ^{T} Hb}\)
przy czym H jest to macierz dana wzorem:
\(\displaystyle{ H = \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2}&8\end{array}\right]}\)
Sprawdź czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
Wiec potrzebuje rady czy mój tok postepowania jest poprawny.
Otóż widząc co to iloczyn skalarny można wyliczyć co wyjdzie z pomnożenie dwóch wektorów a i b:
\(\displaystyle{ \left[ a _{1} ,a _{2} \right] \cdot \left[ b_{1} ,b _{2} \right] = a _{1}b _{1} + a _{2}b _{2}}\)
według zapisu \(\displaystyle{ a \cdot b = a ^{T} Hb}\) wykonuje następujące działanie:
\(\displaystyle{ \left[ a _{1} ,a _{2}\right] * \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2}&8\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}b _{1} \\b _{2} \end{array}\right]}\)
Po wymnozeniu wychodzi :
\(\displaystyle{ a _{1} b _{1} + \sqrt{2} a _{2} b _{1} + \sqrt{2} a _{1} b _{2} + 8a _{2} b _{2}}\)
No i jak dla mnie nie pokrywa to sie z iloczynem skalarnym i według mnie nie to działanie nie jest iloczynem skalarnym.
Czy robie to dobrze ??
Pozdrawiam
Piter9414
Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
Źle, bo iloczyn skalarny to dwuliniowa funkcja \(\displaystyle{ \mathbb R^2 \times \mathbb R^2\to \mathbb R}\), która ma pewne własności. Spójrz na , musisz zbadać macierz.
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
A czy mogłabyś nieco pokierować mnie w jaki sposób tą macierz sprawdzić ??
-- 13 kwi 2015, o 01:58 --
Czy dobrze wyczytałem, że macierz \(\displaystyle{ H}\) musi być symetryczna ??
Więc \(\displaystyle{ H = H ^{T}}\)
A dla danej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] ^{T}}\)
Macierz jest symetryczna, więc jest to iloczyn skalarny tak ??
-- 13 kwi 2015, o 01:58 --
Czy dobrze wyczytałem, że macierz \(\displaystyle{ H}\) musi być symetryczna ??
Więc \(\displaystyle{ H = H ^{T}}\)
A dla danej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2} \\ \sqrt{2} &8\end{array}\right] ^{T}}\)
Macierz jest symetryczna, więc jest to iloczyn skalarny tak ??
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
Gdyby to było takie łatwe... Jesteś pewien, że przeczytałeś artykuł? Musisz jeszcze sprawdzić, czy jest dodatnio określona. I nie wiem, czy nie musisz dowieść najpierw, że klasyczna definicja iloczynu skalarnego jest równoważna tej (może miałeś to już na zajęciach).
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Czy podane działanie jest iloczynem skalarnym ?
Sprawdzić czy jest dodatnio określona tzn, że należy sprawdzić czy wyznacznik macierzy jest większy od zera i wszystkie podwyznaczniki muszą być większe od zera tak ??
W tym przypadku:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{c}1\end{array}\right| > 0}\)
i
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2} &8\end{array}\right| > 0}\)
te warunki trzeba sprawdzić ??
-- 13 kwi 2015, o 22:39 --
Chyba już sobie poradziłem. Macierz jest dodatnio określona, więc ta funkcja jest iloczynem skalarnym.
W tym przypadku:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{c}1\end{array}\right| > 0}\)
i
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ \sqrt{2} &8\end{array}\right| > 0}\)
te warunki trzeba sprawdzić ??
-- 13 kwi 2015, o 22:39 --
Chyba już sobie poradziłem. Macierz jest dodatnio określona, więc ta funkcja jest iloczynem skalarnym.