Wartości i wektory własne

[Rain95]

Znaleźć wartości i wektory własne podanego przekształcenia linowego :
\(\displaystyle{ L: R_{2}[x] \rightarrow R_{2}[x], (Lp)(x)=2xp'(x)+x^{2}p(0)+p(2)}\)

Potrzebuje pomocy przy wyznaczeniu macierzy, dalej juz sobie poradze, a mianowicie czy dobrze to robie. Sprawdzam :
\(\displaystyle{ L(1)=0+x^{2}p(0)+p(2)}\)
\(\displaystyle{ L(x)=2x+ x^{2}p(0)+p(2)}\)
\(\displaystyle{ L( x^{2})=4 x^{2}+x^{2}p(0)+p(2)=x^{2}(4+p(0))+p(2)}\)

A zatem moja macierz bedzie wygladac w ten sposób:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p(2)&p(2)&p(2)\\0&2&0\\p(0)&p(0)&4+p(0)\end{array}\right]}\)

Czy to jest poprawne ?

[Premislav]

Jest prawie dobrze. Ale ale:
jak pan liczysz \(\displaystyle{ L(x)}\), to masz\(\displaystyle{ L(x)=2x+x^{2}\cdot x(0)+x(2)}\), czyli innymi słowy \(\displaystyle{ 2x+2}\), a zapisawszy to w kolumnie (to będzie druga kolumna) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\\2\\0 \end{array}\right]}\)
i podobnie dla dwóch pozostałych wektorów bazowych, które wybrałeś.

[Rain95]

Czyli bedzie :
\(\displaystyle{ L(1)=0+x^{2} \cdot 0+2=2}\)
\(\displaystyle{ L( x^{2})=4x^{2}+x^{2}x^{2}(0)+x^{2}(2)=4x^{2}+4}\)
?

[Premislav]

\(\displaystyle{ L(1)}\) masz źle, bo wartość funkcji wielomianowej stale równej \(\displaystyle{ 1}\) dla argumentu \(\displaystyle{ 2}\) to jest \(\displaystyle{ 1}\). Poza tym OK.

[Rain95]

Dziękuje za pomoc !