Dopełnienie podprzestrzeni liniowej

SherlockH · Post autor: **SherlockH** » 11 kwie 2015, o 17:01

Niech K będzie ciałem i \(\displaystyle{ U \subset K^4}\). Wektory \(\displaystyle{ a=(1,2,3,4) \ i \ b=(1,1,-1,-1)}\) rozpinają podprzestrzeń. Podać dopełnienie \(\displaystyle{ U' \subset K^4}\).
Rozwiązaniem będzie wektor (x,y,z,t) taki, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z+4t=0 \\x+y-z-t=0 \end{cases}}\)

Prawda to? Czy należy coś jeszcze zrobić? (Poza rozwiązaniem układu oczywiście)

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 11 kwie 2015, o 17:47

Rozwiązaniem nie będzie wektor, bo skoro przestrzeń jest wymiaru dwa, to i dopełnienie ma taki wymiar. Potrzebujesz pary wektorów.

SherlockH · Post autor: **SherlockH** » 13 kwie 2015, o 16:47

Możesz powiedzieć jak to zrobić?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 13 kwie 2015, o 20:35

Owszem. Próbujemy na ślepo wziąć \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\). Ułóż macierz z tych wektorów, policz wyznacznik. Wyjdzie jeden, więc te dwa rozpinają dopełnienie.

SherlockH · Post autor: **SherlockH** » 14 kwie 2015, o 20:34

Czyli jeśli rozumiem, macierz zlozona z wektorow (a,b,x,y) , gdzie \(\displaystyle{ x,y \in U'}\) musi mieć rząd równy 4, bo ta macierz rozpina całą przestrzeń?