Odwzorowanie liniowe z parametrem

[blade]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^4 \rightarrow \RR^3}\) określone wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (x-y + (k+1)z, 2kx +5y -3t, x+ky -z -t)}\) jest epimorfizmem a dla jakich monomorfizmem.

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) epimorfizm \(\displaystyle{ \rightarrow \dim im f = 3}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) monomorfizm \(\displaystyle{ \rightarrow ker f = \{\vec{0}\}}\)
Pomysł mam
Ad 1.
\(\displaystyle{ im f = \{(x-y + (k+1)z, 2kx +5y -3t, x+ky -z -t) : x,y,z,t,k \in \RR\} = \{x(1,2k,1) +y(-1,5,k) + z(k+1,0,-1) + t(0,-3,-1)\} : x,y,z,t \in \RR \} = \Lin \{(1,2k,1),(-1,5,k),(k+1,0,-1),(0,-3,-1)\}}\)
Teraz te 4 wektory wyżej muszą być liniowo zależne więc robię takie coś :
Sprawdzam dla jakich \(\displaystyle{ k}\) te 4 wektory są liniowo zależne, wstawiam te parametry które mi wyszły i później sprawdzam dla których \(\displaystyle{ k}\) z tych które mi wyszły, któreś 3 wektory z powyższych są liniowo niezależne - czyli tworzą bazę i \(\displaystyle{ \dim im f = 3}\)
Teraz pytanie czy muszę sprawdzać dla jakich \(\displaystyle{ k}\) te 4 wektory są liniowo zależne ? Bo to może być trochę żmudne, gdyż nie sprawdzę tego przez wyznacznik, bo nie dostaję macierzy kwadratowej..

[Barbara777]

Dowolne 4 wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) sa liniowo zalezne. (Ogolnie: \(\displaystyle{ n> m}\) vektorow w \(\displaystyle{ m}\)-wymiarowej przestrzeni jest liniowo zaleznych.)
Zeby to byl epimorfizm, rzad macierzy odwzorowania musi byc rowny 3.