Konkstrukcja odwzorowania liniowego

[blade]

Skonstruuj odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f}\) wiedząć, że \(\displaystyle{ f:\RR^3 \rightarrow \RR^2}\),
\(\displaystyle{ ker f = \{(x,y,z) : x+y+z=0\}, im f= \{(x,y) : x+3y=0\}}\)
Nie wiem za bardzo jak się za to zabrać.
Jedyne co 'widzę' to :
\(\displaystyle{ ker f = \{(x,y,z) : x+y+z=0\} = \{(x,-x-z,z) : x(1,-1,0) + z(0,-1,1)\} = \Lin \{(1,-1.0),(0,-1,1)\}}\)
Jednak nie wiem co zrobić z tym dalej..

[jutrvy]

Świetnie - dużo już zrobiłeś. Wiesz więc, że Twoje przekształcenie wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0), (0,-1,1)}\) posyła w zero. Wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0), (0,-1,1)}\) są liniowo niezależne, można więc je dopełnić do bazy. Zauważ, że obrazem jest prosta na płaszczyźnie, zatem przestrzeń liniowa wymiaru jeden. Jak dopełnisz nasz zbiór do bazy \(\displaystyle{ \RR^3}\), to ten trzeci wektor wystarczy posłać na wektor \(\displaystyle{ (-3,1)}\), i będziesz miał przekształcenie w bazie przez nas dobraną. Będzie jeszcze trzeba zrobić odpowiednie macierze przejścia, potrafisz to zrobić?

Pozdrawiam

[blade]

hm, uzupełniłbym o wektor \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), chyba były by liniowo niezależne, ale co do macierzy przejścia to, jest to materiał, kiedy jeszcze nie mieliśmy macierzy przejścia, da sie to zrobić bez tego?
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1,0,0) = (-3,1) \\ f(1,-1,0) = (0,0) \\ f(0,-1,1) = (0,0)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(1,-1,0) = f(1,0,0) + f(0,-1,0) = (0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(0,-1,1) = f(0,-1,0) + f(0,0,1) = (0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(0,-1,0) = (0,0) - f(1,0,0) =(3,-1)}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,1) = (0,0) - (3,-1) = (-3,1)}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1,0,0) = (-3,1) \\ f(0,1,0) = (-3,1) \\ f(0,0,1) = (-3,1) \end{cases}}\)
Jakoś dziwnie wyszło no ale dobra.
więc \(\displaystyle{ f(x,y,z) = f(x,0,0) + f(0,y,0) + f(0,0,z) = (-3x, x) + (-3y,y) + (-3z,z) = (-3x-3y-3z,x+y+z)}\)
Czy mogę tak zrobić ? Coś mi się nie podoba to odwzorowanie.

[jutrvy]

Jest dobrze Masz rację - nie trzeba używać tu macierzy przejścia. To odwzorowanie jest ok, zauważ, że zeruje ono te wektory, które ma zerować, a jego obraz to nasza prosta \(\displaystyle{ x + 3y = 0}\). Jest ok, więcej wiary

[blade]

Dzięki za pomoc ! Teraz już rozumiem zadania tego typu