Odwzorowanie liniowe

[blade]

Sprawdź czy podane odwzorowanie jest liniowe, jeśli tak to wyznacz jądro, baze jądra, obraz, bazę obrazu i ich wymiary oraz macierz tego odwzorowania
\(\displaystyle{ f:R[x]_3 \rightarrow R[x]_3}\)
\(\displaystyle{ (f(p))(x) = xp'(x+1) - p(x+1)}\)
\(\displaystyle{ p_1 = ax^3 +bx^2 +cx + d \in \RR^3 \\
p_2 = ex^3 +fx^2 +gx + h \in \RR^3}\)

Sprawdziłem odwzorowanie - jest liniowe.
zatem :
\(\displaystyle{ f(p_1) = (2ax^3 +bx^2 -d)(x+1) = 2ax^4 +bx^3 -dx +2ax^3 +bx^2 -d = a(2x^4 +2x^3) +b(x^3 +x^2) +d(-x -1) \\
im f= \Lin \{(2x^4 +2x^3), (x^3 +x^2), (-x -1) \}}\)
sprawdzę teraz czy te wektory są liniowo niezależne,
niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \RR}\)
\(\displaystyle{ \alpha(2x^4 +2x^3) +\beta(x^3 +x^2) +\gamma(-x -1) = \vec{0}\\
2\alpha = 0 \\
\beta = 0 \\
\gamma = 0}\)
Są liniowo niezależne, zatem tworzą bazę :
\(\displaystyle{ B_{im f} = \left\{ (2x^4 +2x^3), (x^3 +x^2), (-x -1)\right\}}\)
\(\displaystyle{ \dim im f = 3}\)
No więc teraz jądro
\(\displaystyle{ 2ax^4 +bx^3 -dx +2ax^3 +bx^2 -d = \vec{0}\\
x^4\cdot a + x^3(b+2a) + x^2 \cdot b + x\cdot (-d) -d = \vec{0}}\)
dostałem dokładnie takie samo równanie jak wyżej (gdzie sprawdzałem liniową niezależność)
więc wyjdą same zera a jądro będzie trywialne.
No ale wymiar jądra powinien wyjść \(\displaystyle{ 1}\), bo wtedy będzie mi się zgadzać \(\displaystyle{ \dim im f + \dim ker f = dim R[x]_3 = 4}\)
1)Gdzie zatem robię błąd
2)Jak w tym przypadku wyznaczyć macierz odwzorowania ?

[Barbara777]

A nie zastanowilo cie, ze obraz dostales wielomian stopnia 4, podczas gdy odwzorowanie idzie do przestrzeni wielomianow stopnia trzeciego?
\(\displaystyle{ p'(x+1)}\) to nie jest wielomian \(\displaystyle{ p'(x)}\) pomnozony przez \(\displaystyle{ (x+1)}\), a \(\displaystyle{ p'(x+1)}\) czyli \(\displaystyle{ p'}\) od \(\displaystyle{ x+1}\).
To samo dotyczy \(\displaystyle{ p(x+1)}\)
(Jesli by to mialo byc mnozenie, to byloby napisane \(\displaystyle{ p'(x)(x+1)}\))

[blade]

Ah, teraz wszystko jasne, dzięki.