Witam
Mam dosyć duży problem z poniższym zadaniem. Wiem jak wyznaczać macierz przekształcenia ale jeśli dojdą wielomiany i poniższe oznaczenia to nie bardzo wiem jak sie za takie zadanie zabrać.
Jeśli byłby ktoś na tyle miły i pomógł mi w zrozumieniu w jaki sposób rozwiązywać poniższe zadania będę bardzo wdzięczny.
W przestrzeni wektorowej
\(\displaystyle{ R _{2}[x]}\)
dana jest baza kanoniczna
\(\displaystyle{ 1, x, x ^{2}}\)
W zadanej bazie wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ h: R _{2}[x] \rightarrow R _{2}[x]}\)
danego wzorem
\(\displaystyle{ h(f(x)) = f(2x)}\)
Pozdrawiam
Piter9414
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
-
szw1710
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Wielomian \(\displaystyle{ w(x)=a+bx+cx^2}\) utożsamiamy z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\RR^3}\) i w tym sensie możesz wyznaczyć macierz tego przekształcenia. Jaki wektor odpowiada obrazowi \(\displaystyle{ h(w)}\)?
Odpowiedź będzie niejednoznaczna, bo możesz swobodnie permutować współrzędne wektora. Np. \(\displaystyle{ ax^2+bx+c\leftrightarrow(a,b,c)}\) lub \(\displaystyle{ cx^2+ax+b\leftrightarrow(c,a,b)}\) itp.
Odpowiedź będzie niejednoznaczna, bo możesz swobodnie permutować współrzędne wektora. Np. \(\displaystyle{ ax^2+bx+c\leftrightarrow(a,b,c)}\) lub \(\displaystyle{ cx^2+ax+b\leftrightarrow(c,a,b)}\) itp.
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2015, o 14:36 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tagowania.
Powód: Poprawa tagowania.
-
Piter9414
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
A czy mógłyś mi pomóc rozwiązać to zadanie od początku do końca ?? I wyjaśnić co oznacza oznaczenie \(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) ?? Czy to chodzi że jest to wielomian stopnia 2 gdzie \(\displaystyle{ x \in R}\) ??
-
szw1710
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Prawie, czyli co najwyżej dwa. Więc od początku. Mamy \(\displaystyle{ w(x)=a+bx^2+cx}\) i utożsamiamy go z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Pytałem, jaki wektor odpowiada obrazowi \(\displaystyle{ h\bigl(w(x)\bigr)}\)?
-
Piter9414
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Treść którą podałem jest to kompletna treść zadania nic wiecej nie ma, wiec nie wiem za bardzo co Ci odpowiedzieć na Twoje pytanie. A zadania nie wiem jak rozwiązać.
-- 6 kwi 2015, o 07:49 --
Czy to przekształcenie h będzie określone wzorem:
\(\displaystyle{ h(x) = \left( 1, 2x, 4x ^{2} \right)}\)
i następnie obliczymy wektory przekształcenia dla bazy
\(\displaystyle{ \left( (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) \right)}\)
co nam da:
\(\displaystyle{ h(1, 0, 0) = [1, 0, 0]}\)
\(\displaystyle{ h(1, 1, 0) = [1, 2, 0]}\)
\(\displaystyle{ h(1, 1, 1) = [1, 2, 4]}\)
następnie rozpiszemy:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 0 \cdot (0, 1, 0) + 0 \cdot (0, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ (1, 2, 0) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 2 \cdot (0, 1, 0) + 0 \cdot (0, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ (1, 2, 4) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 2 \cdot (0, 1, 0) + 4 \cdot (0, 0, 1)}\)
i otrzymujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&2\\0&0&4\end{array}\right]}\)
Czy ten tok myślenia i sposób rozwiązania jest choćby częściowo dobry ??
-- 6 kwi 2015, o 07:49 --
Czy to przekształcenie h będzie określone wzorem:
\(\displaystyle{ h(x) = \left( 1, 2x, 4x ^{2} \right)}\)
i następnie obliczymy wektory przekształcenia dla bazy
\(\displaystyle{ \left( (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) \right)}\)
co nam da:
\(\displaystyle{ h(1, 0, 0) = [1, 0, 0]}\)
\(\displaystyle{ h(1, 1, 0) = [1, 2, 0]}\)
\(\displaystyle{ h(1, 1, 1) = [1, 2, 4]}\)
następnie rozpiszemy:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 0 \cdot (0, 1, 0) + 0 \cdot (0, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ (1, 2, 0) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 2 \cdot (0, 1, 0) + 0 \cdot (0, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ (1, 2, 4) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 2 \cdot (0, 1, 0) + 4 \cdot (0, 0, 1)}\)
i otrzymujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&2\\0&0&4\end{array}\right]}\)
Czy ten tok myślenia i sposób rozwiązania jest choćby częściowo dobry ??
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2015, o 14:36 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
szw1710
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Brak tam liter \(\displaystyle{ a,b,c}\). Masz wektor \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) przekształcić w wektor \(\displaystyle{ (a_1,b_1,c_1)}\).
-
szw1710
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Nie mógłbym, albowiem w drugie święto wychodzę z rodziną. Dostałeś dostatecznie wiele wskazówek, żeby je sobie przemyśleć.
-
szw1710
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Jeśli decyduję się Ci pomóc, to stosuj się do wskazówek. Pytałem, ile wynosi \(\displaystyle{ h\bigl(w(x)\bigr)}\), gdzie \(\displaystyle{ w(x)=a+bx+cx^2}\). Czy to trudne do obliczenia? To początek. Następne etapy przed tobą. Jeśli nie akceptujesz mojej formy pomocy - bez gotowca, ale z podpowiedziami poszczególnych kroków - ja dziękuję za współpracę. Nie każdemu ta forma będzie pasować. Ale gotowców nie będę dawał. Nie stosuj wartościowania typu "nieco bardziej pomocny". Zauważ, że jednak trochę pomocny jestem (4 miejsce w rankingu punktów "Pomógł" na 111086 użytkowników Forum).
-
Piter9414
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Dobrze dziękuję za pomoc ale jak wspomniałem nie wiem jak sie za takie zadania zabrać. Nie będę wchodził w polemikę.
Przyszedłem tutaj po pomoc mam szczerą nadzieję że od kogoś otrzymam takową bardziej przystepną na mój prosty rozumek.
Przyszedłem tutaj po pomoc mam szczerą nadzieję że od kogoś otrzymam takową bardziej przystepną na mój prosty rozumek.
-
jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Dobra, luzik. Definicję przestrzeni liniowej znasz, prawda? Definicję wielomianu też, jak przypuszczam. Niech teraz \(\displaystyle{ V}\) oznacza zbiór wielomianów stopnia co najwyżej dwa. Można na zbiorze \(\displaystyle{ V}\) określić działanie \(\displaystyle{ +}\), które jest określone następująco:
\(\displaystyle{ (a_2x^2 + a_1x +a_0) + (b_2x^2 + b_1x + b_0) = (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0)}\), czyli jest to normalne dodawanie wielomianów (bierzemy dowolne \(\displaystyle{ a_2,a_1,a_0,b_2,b_1,b_0\in\mathbb{R}}\), zatem bierzemy dowolne wielomiany).
Określamy też lewostronne mnożenie przez skalar:
\(\displaystyle{ r\cdot(a_2x^2+a_1x+a_0) = ra_2x^2 + ra_1x + ra_0,\hbox{ gdzie }r\in\mathbb{R}}\).
Łatwo sprawdzić, że struktura \(\displaystyle{ (V, +, \cdot)}\) tworzy przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - zrób sobie takie proste ćwiczenie - weź do ręki definicję przestrzeni liniowej i sprawdź, czy nasza struktura spełnia warunki z tej definicji.
Teraz skąd Twoje "literki" \(\displaystyle{ (a,b,c)}\)? Zauważ, że funkcja
\(\displaystyle{ f\colon V\to\mathbb{R}^3}\) określona tak:
\(\displaystyle{ (a_2x^2 + a_1x+a_0)\longmapsto \left( a_2, a_1, a_0\right)}\) jest przekształceniem liniowym, na dodatek jest bijekcją, zatem naszą przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) możemy poprzez to przekształcenie \(\displaystyle{ f}\) utożsamiać z \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Jeszcze oznaczenia: \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[X]}\), to właśnie zbiór wielomianów stopnia co najwyżej dwa o współczynnikach z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), czyli nasz zbiór \(\displaystyle{ V}\). Teraz już rozumiesz o co chodzi w tym zadanku?
\(\displaystyle{ (a_2x^2 + a_1x +a_0) + (b_2x^2 + b_1x + b_0) = (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0)}\), czyli jest to normalne dodawanie wielomianów (bierzemy dowolne \(\displaystyle{ a_2,a_1,a_0,b_2,b_1,b_0\in\mathbb{R}}\), zatem bierzemy dowolne wielomiany).
Określamy też lewostronne mnożenie przez skalar:
\(\displaystyle{ r\cdot(a_2x^2+a_1x+a_0) = ra_2x^2 + ra_1x + ra_0,\hbox{ gdzie }r\in\mathbb{R}}\).
Łatwo sprawdzić, że struktura \(\displaystyle{ (V, +, \cdot)}\) tworzy przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - zrób sobie takie proste ćwiczenie - weź do ręki definicję przestrzeni liniowej i sprawdź, czy nasza struktura spełnia warunki z tej definicji.
Teraz skąd Twoje "literki" \(\displaystyle{ (a,b,c)}\)? Zauważ, że funkcja
\(\displaystyle{ f\colon V\to\mathbb{R}^3}\) określona tak:
\(\displaystyle{ (a_2x^2 + a_1x+a_0)\longmapsto \left( a_2, a_1, a_0\right)}\) jest przekształceniem liniowym, na dodatek jest bijekcją, zatem naszą przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) możemy poprzez to przekształcenie \(\displaystyle{ f}\) utożsamiać z \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Jeszcze oznaczenia: \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[X]}\), to właśnie zbiór wielomianów stopnia co najwyżej dwa o współczynnikach z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), czyli nasz zbiór \(\displaystyle{ V}\). Teraz już rozumiesz o co chodzi w tym zadanku?
-
Piter9414
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
jutrvy dziękuję za obszerną odpowiedź.
Ale czy dobrze rozumiem że w tej sytuacji wzorem przekształcenia liniowego jest:
\(\displaystyle{ f(a, b, c) = (a \cdot x ^{2}, b \cdot x, c)}\)
czyli jakby mamy przekształcenie:
\(\displaystyle{ R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\)
??
Oczywiście według zalecenia sprawdziłem sobie zarówno addytywność jak i jednorodność i się dla takiego wzoru jak napisałem wyżej sprawdzają, więc przekształcenie jest jak najbardziej liniowe.
Tylko teraz gdy już mam ten wzór to macierz w bazie kanonicznej wyznaczyć i czy to robie według schematu który napisałem w komentarzu wyżej ??
tzn że bazą kanoniczną są wektory:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}\)
a gdy już wyliczymy przedstawiamy wynik jako kombinacje wektorów:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}\)
??
Macierz przekształcenia wyznaczać potrafie gdy mam bazy podane i wzór przekształcenia i chciałbym się nieco upewnić czy napewno dobrze rozumem "bazy kanoniczne".
Wielomiany wiem co to podstawowe informacje mam operacje na nich również ale w przekształceniach sprawiają mi problemy nie do przejścia i nie jestem w stanie tego konceptualnie objąć.
Ale czy dobrze rozumiem że w tej sytuacji wzorem przekształcenia liniowego jest:
\(\displaystyle{ f(a, b, c) = (a \cdot x ^{2}, b \cdot x, c)}\)
czyli jakby mamy przekształcenie:
\(\displaystyle{ R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\)
??
Oczywiście według zalecenia sprawdziłem sobie zarówno addytywność jak i jednorodność i się dla takiego wzoru jak napisałem wyżej sprawdzają, więc przekształcenie jest jak najbardziej liniowe.
Tylko teraz gdy już mam ten wzór to macierz w bazie kanonicznej wyznaczyć i czy to robie według schematu który napisałem w komentarzu wyżej ??
tzn że bazą kanoniczną są wektory:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}\)
a gdy już wyliczymy przedstawiamy wynik jako kombinacje wektorów:
\(\displaystyle{ (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}\)
??
Macierz przekształcenia wyznaczać potrafie gdy mam bazy podane i wzór przekształcenia i chciałbym się nieco upewnić czy napewno dobrze rozumem "bazy kanoniczne".
Wielomiany wiem co to podstawowe informacje mam operacje na nich również ale w przekształceniach sprawiają mi problemy nie do przejścia i nie jestem w stanie tego konceptualnie objąć.
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2015, o 14:36 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Oj nie. Trochę jeszcze się pomyliłeś. \(\displaystyle{ h}\) przyjmuje jako argumenty funkcje, tzn napis:
\(\displaystyle{ h(f(x))}\) oznacza: weź wielomian \(\displaystyle{ f}\) i "poddaj go działaniu funkcji \(\displaystyle{ h}\)" (piszę w cudzysłowie, bo to bardzo nieformalne stwierdzenie, ale moim zdaniem dobrze oddaje intuicyjnie, co się tu dzieje).
Tzn. \(\displaystyle{ f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0}\). Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ h(f(x)) = h(a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_2(2x)^2 + a_1(2x) + a_0}\). Tak działa nam funkcja \(\displaystyle{ h}\).
W skrócie: funkcja \(\displaystyle{ h}\) działa następująco: niech \(\displaystyle{ i(x) = 2x}\), niech \(\displaystyle{ g(x)\in\RR_2[X]}\) - dowolny wielomian. Wtedy:
\(\displaystyle{ h(f) = f\circ i}\), gdzie kółeczko oznacza składanie funkcji.
Ok?-- 7 kwi 2015, o 10:28 --PS Jeszcze dopowiem - żeby nie było żadnej niejasności: \(\displaystyle{ f}\) nie jest przekształceniem liniowym, tylko jakimś wielomianem (dowolnym) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR_2[X]}\).
\(\displaystyle{ h(f(x))}\) oznacza: weź wielomian \(\displaystyle{ f}\) i "poddaj go działaniu funkcji \(\displaystyle{ h}\)" (piszę w cudzysłowie, bo to bardzo nieformalne stwierdzenie, ale moim zdaniem dobrze oddaje intuicyjnie, co się tu dzieje).
Tzn. \(\displaystyle{ f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0}\). Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ h(f(x)) = h(a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_2(2x)^2 + a_1(2x) + a_0}\). Tak działa nam funkcja \(\displaystyle{ h}\).
W skrócie: funkcja \(\displaystyle{ h}\) działa następująco: niech \(\displaystyle{ i(x) = 2x}\), niech \(\displaystyle{ g(x)\in\RR_2[X]}\) - dowolny wielomian. Wtedy:
\(\displaystyle{ h(f) = f\circ i}\), gdzie kółeczko oznacza składanie funkcji.
Ok?-- 7 kwi 2015, o 10:28 --PS Jeszcze dopowiem - żeby nie było żadnej niejasności: \(\displaystyle{ f}\) nie jest przekształceniem liniowym, tylko jakimś wielomianem (dowolnym) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR_2[X]}\).
-
Piter9414
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 11 lut 2015, o 09:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 55 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia w zadanej bazie.
Pozwól mi zrozumieć czy interpretuje to poprawnie na tą chwile.
Dzięki zapisowi
\(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) - czyli zbiór wielomianów stopnia co najwyżej 2
o postaci:
\(\displaystyle{ a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\)
gdzie współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c \in R}\) czyli mogą przyjmować dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych bo oznaczenie mówi ze mamy zbiór wielomianów tak ?? zbiór ten jest skończony ??
możemy zapisać wzór funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\)
Kolejną funkcją podaną w zadaniu jest funkcja \(\displaystyle{ h}\). Funkcja ta jako argumenty przyjmuje funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli pojedyńczym argumentem funkcji \(\displaystyle{ h}\) jest cały wielomian określony funkcją \(\displaystyle{ f(x)}\).
Zaś wzór funkcji \(\displaystyle{ h(f(x))}\) jest równoważny funkcji \(\displaystyle{ f}\), która jako argument przyjmuje \(\displaystyle{ 2x}\) czyli rozpisując mamy:
Funkcja \(\displaystyle{ f(2x)}\) będzie równa:
\(\displaystyle{ f(2x) = a_{2}(2x) ^{2} + a _{1}(2x) + a _{0}}\)
czyli otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2x) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
odczytując z treści zadania, że \(\displaystyle{ h(f(x)) = f(2x)}\) możemy zapisać że wzór funkcji \(\displaystyle{ h(f(x))}\) jest równy:
\(\displaystyle{ h(f(x)) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
czyli przekształcenie działa w ten sposób że dowolny wielomian \(\displaystyle{ a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\) podany jako argument do funkcji \(\displaystyle{ h}\) przekształca ten wielomian w wielomian \(\displaystyle{ 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\) czyli zapisując mamy:
\(\displaystyle{ h(a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
Tak interpretuje Twoje słowa jutrvy czy ja to chociaż troszeczkę rozumiem co starasz się mi przekazać ??
Główne pytanie to czy dzięki zapisowi \(\displaystyle{ R _{2} [x]}\) wiemy że funkcja \(\displaystyle{ f}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ f\left( x\right) = a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\) czy to przez określoną bazę \(\displaystyle{ 1, x, x ^{2}}\) znamy wzór funkcji ??
Pozdrawiam i dziękuję już za dotychczasową pomoc -- 7 kwi 2015, o 19:57 --P.S.
Struktura \(\displaystyle{ (V, +, *)}\) ma spełniać tylko warunki dla przekształcenia liniowego ?? Czy tutaj też trzeba to analizować pod kątem pierścieni czy ciał ??
Dzięki zapisowi
\(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) - czyli zbiór wielomianów stopnia co najwyżej 2
o postaci:
\(\displaystyle{ a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\)
gdzie współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c \in R}\) czyli mogą przyjmować dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych bo oznaczenie mówi ze mamy zbiór wielomianów tak ?? zbiór ten jest skończony ??
możemy zapisać wzór funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\)
Kolejną funkcją podaną w zadaniu jest funkcja \(\displaystyle{ h}\). Funkcja ta jako argumenty przyjmuje funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli pojedyńczym argumentem funkcji \(\displaystyle{ h}\) jest cały wielomian określony funkcją \(\displaystyle{ f(x)}\).
Zaś wzór funkcji \(\displaystyle{ h(f(x))}\) jest równoważny funkcji \(\displaystyle{ f}\), która jako argument przyjmuje \(\displaystyle{ 2x}\) czyli rozpisując mamy:
Funkcja \(\displaystyle{ f(2x)}\) będzie równa:
\(\displaystyle{ f(2x) = a_{2}(2x) ^{2} + a _{1}(2x) + a _{0}}\)
czyli otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(2x) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
odczytując z treści zadania, że \(\displaystyle{ h(f(x)) = f(2x)}\) możemy zapisać że wzór funkcji \(\displaystyle{ h(f(x))}\) jest równy:
\(\displaystyle{ h(f(x)) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
czyli przekształcenie działa w ten sposób że dowolny wielomian \(\displaystyle{ a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\) podany jako argument do funkcji \(\displaystyle{ h}\) przekształca ten wielomian w wielomian \(\displaystyle{ 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\) czyli zapisując mamy:
\(\displaystyle{ h(a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}) = 4a_{2}x ^{2} + 2a _{1}x + a _{0}}\)
Tak interpretuje Twoje słowa jutrvy czy ja to chociaż troszeczkę rozumiem co starasz się mi przekazać ??
Główne pytanie to czy dzięki zapisowi \(\displaystyle{ R _{2} [x]}\) wiemy że funkcja \(\displaystyle{ f}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ f\left( x\right) = a _{2} x ^{2} + a_{1}x + a _{0}}\) czy to przez określoną bazę \(\displaystyle{ 1, x, x ^{2}}\) znamy wzór funkcji ??
Pozdrawiam i dziękuję już za dotychczasową pomoc -- 7 kwi 2015, o 19:57 --P.S.
Struktura \(\displaystyle{ (V, +, *)}\) ma spełniać tylko warunki dla przekształcenia liniowego ?? Czy tutaj też trzeba to analizować pod kątem pierścieni czy ciał ??