Mam macierz w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\):
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&3&3\\2&2&0\end{bmatrix}}\)
Jej wyznacznik (według moich obliczeń) to \(\displaystyle{ \det A= 2}\), tzn, że istnieje macierz odwrotna do niej.
Staram się ją wyznaczyć za pomocą odwrotności wyznacznika i macierzy dopełnień, jednak następuje pewien problem:
macierz dopełnień \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 4&1&2\\1&4&2\\2&4&0\end{bmatrix}}\)
W takim razie patrząc na wzór na macierz odwrotną \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&1&2\\1&4&4\\2&2&0\end{bmatrix}}\), gdzie na miejscu \(\displaystyle{ a_{1,1}}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\) (\(\displaystyle{ 1\cdot 1/2}\) nie należy do \(\displaystyle{ \ZZ_5}\)).
Gdzie jest błąd w rozumowaniu?
Pozdrawiam serdecznie
Macierz odwrotna w Z5
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 25 razy
Macierz odwrotna w Z5
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 18:24 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Częściowy brak LaTeX-a.
Powód: Częściowy brak LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 481
- Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sucha/Wrocław
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 62 razy
Macierz odwrotna w Z5
Błąd jest taki, że nie ma czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\).
Trzeba znaleźć jej odpowiednik. Akurat tutaj to będzie \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 = 1}\).
Jak zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) podstawisz \(\displaystyle{ 3}\) i pomnożysz te macierze (i biorąc modulo wynik) to dostaniesz macierz identycznościową, czyli tak jak chcemy.
Trzeba znaleźć jej odpowiednik. Akurat tutaj to będzie \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 = 1}\).
Jak zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) podstawisz \(\displaystyle{ 3}\) i pomnożysz te macierze (i biorąc modulo wynik) to dostaniesz macierz identycznościową, czyli tak jak chcemy.
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 25 razy
Macierz odwrotna w Z5
robiłem zgodnie z tym wzorem:
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det A}\cdot ( A^{D} )^{T}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wzięła się dokładnie z tego, że wyznacznik wyszedł 2
Edit:
Czyli rozumiem, że we wzorze \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\) oznacza element odwrotny w ciele?
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det A}\cdot ( A^{D} )^{T}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wzięła się dokładnie z tego, że wyznacznik wyszedł 2
Edit:
Czyli rozumiem, że we wzorze \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\) oznacza element odwrotny w ciele?
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Macierz odwrotna w Z5
Tak \(\displaystyle{ (\det A)^{-1}=2^{-1}=3}\) a najlepiej macierzy odwrotnej szukać metodą dopisywania macierzy jednostkowej i dalej poprzez przekształcenia elementarne.InYourHead pisze:Czyli rozumiem, że we wzorze \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\) oznacza element odwrotny w ciele?
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 25 razy