Macierz odwrotna w Z5

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
InYourHead
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 25 razy

Macierz odwrotna w Z5

Post autor: InYourHead »

Mam macierz w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\):
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&3&3\\2&2&0\end{bmatrix}}\)

Jej wyznacznik (według moich obliczeń) to \(\displaystyle{ \det A= 2}\), tzn, że istnieje macierz odwrotna do niej.

Staram się ją wyznaczyć za pomocą odwrotności wyznacznika i macierzy dopełnień, jednak następuje pewien problem:

macierz dopełnień \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 4&1&2\\1&4&2\\2&4&0\end{bmatrix}}\)

W takim razie patrząc na wzór na macierz odwrotną \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&1&2\\1&4&4\\2&2&0\end{bmatrix}}\), gdzie na miejscu \(\displaystyle{ a_{1,1}}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\) (\(\displaystyle{ 1\cdot 1/2}\) nie należy do \(\displaystyle{ \ZZ_5}\)).
Gdzie jest błąd w rozumowaniu?
Pozdrawiam serdecznie
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 18:24 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Częściowy brak LaTeX-a.
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Macierz odwrotna w Z5

Post autor: wiedzmac »

Błąd jest taki, że nie ma czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\).
Trzeba znaleźć jej odpowiednik. Akurat tutaj to będzie \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 = 1}\).
Jak zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) podstawisz \(\displaystyle{ 3}\) i pomnożysz te macierze (i biorąc modulo wynik) to dostaniesz macierz identycznościową, czyli tak jak chcemy.
InYourHead
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 25 razy

Macierz odwrotna w Z5

Post autor: InYourHead »

robiłem zgodnie z tym wzorem:
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det A}\cdot ( A^{D} )^{T}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wzięła się dokładnie z tego, że wyznacznik wyszedł 2

Edit:
Czyli rozumiem, że we wzorze \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\) oznacza element odwrotny w ciele?
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Macierz odwrotna w Z5

Post autor: squared »

InYourHead pisze:Czyli rozumiem, że we wzorze \(\displaystyle{ \frac{1}{\det A}}\) oznacza element odwrotny w ciele?
Tak \(\displaystyle{ (\det A)^{-1}=2^{-1}=3}\) a najlepiej macierzy odwrotnej szukać metodą dopisywania macierzy jednostkowej i dalej poprzez przekształcenia elementarne.
InYourHead
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 21 mar 2015, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 25 razy

Macierz odwrotna w Z5

Post autor: InYourHead »

Dziękuję bardzo za pomoc!
ODPOWIEDZ