Mam problem z zadaniem, dla jakich \(\displaystyle{ r,p\in\RR}\) równienie macierzowe Riccatiego ma rozwiązanie. Mam nadzieję, że wybrałem właściwy dział, wrzuciłem to do algebry liniowej, bo chodzi o równanie macierzowe, ale generalnie samo to równanie ma mało wspólnego z tym działem.
Przechodzę do sprawy. Mam macierze:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}r&0\\1&-r\end{array}\right], N=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{cc}p&0\\0&0\end{array}\right]}\)
Szukamy macierzy \(\displaystyle{ S=\left[\begin{array}{cc}s_1&s\\s&s_2\end{array}\right]}\), symetrycznej i dodatnio określonej, spełniającej równanie macierzowe: \(\displaystyle{ -SNS+SA+A^TS+Q=\mathbb{O}}\).
No i mam problem liczenie bezpośrednio jest szaleństwem i generalnie bardzo trudne. Znam inną metodę z wartościami własnymi, ale ona też się nieco komplikuje (Tworzymy macierz \(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc}A^T&Q\\N&-A\end{array}\right]}\), liczymy jej wartości własne, potem wektory własne, rozwiązujemy równanie różniczkowe itd., potem tworzymy kombinacje tych wektorów itd., itd.)
W każdym bądź razie nie wiem, jaka metoda jest dobra, szybka, właściwa itd. Proszę o pomoc, naprowadzenie, cokolwiek.