Dane mam twierdzenie, gdzie w przestrzeni wektorowej dana jest baza \(\displaystyle{ (v_1, ..., v_r )}\) oraz liniowo niezależna rodzina \(\displaystyle{ ( w_1, ... , w_n)}\). Wtedy jest \(\displaystyle{ n \le r}\) oraz wszystkie wektory rodziny można podmienić za wektory bazy i dalej będziemy mieć bazę. Tak w skrócie bez zbędnych formalizmów.
Teraz mam następujący problem. Niech \(\displaystyle{ w P}\) określa wymiar przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ P}\).
\(\displaystyle{ W \subseteq V}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej, którą można stworzyć "skończenie" (zapomniałem jak to się nazywa, ale chyba wiadomo o co chodzi). Jeśli \(\displaystyle{ w W = w V}\) to \(\displaystyle{ W = V}\).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ n = w W = w V}\) i niech \(\displaystyle{ w_1, ..., w_n}\) będzie bazą \(\displaystyle{ W}\). Jeśli \(\displaystyle{ W \not = V}\), to wtedy istnieje \(\displaystyle{ v \in V \setminus W}\) oraz \(\displaystyle{ w_1, ..., w_n, v}\) są liniowo niezależne co stoi w sprzeczności z twierdzeniem które przestawiłem na początku.
Nie rozumiem fragmentu "\(\displaystyle{ w_1, ..., w_n, v}\) są liniowo niezależne". Moje pytanie brzmi dlaczego?
Muszę pokazać, że dla \(\displaystyle{ 0 = \lambda_1 w_1 + ... + \lambda_n w_n + \lambda v}\) mam \(\displaystyle{ \lambda_1, ..., \lambda = 0}\). Więc załóżmy, że tak nie jest. Więc istnieje jakiaś lambda nierówna zerowa. Jeśli \(\displaystyle{ \lambda \not = 0}\) to \(\displaystyle{ v}\) mogę sobie przenieść na drugą stronę i wtedy mam \(\displaystyle{ v \in W}\) co jest w sprzeczności. Problem tylko w tym, że to wcale nie musi być \(\displaystyle{ \lambda}\) tylko jakaś inna lambda. Dlatego ta liniowa niezależność nie jest dla mnie oczywista. Proszę o wyjaśnienie.
Edit: To jest chyba bardziej oczywiste niż mi się wydawało. Jakby \(\displaystyle{ \lambda \not = 0}\) to jest tak jak pisałem czyli sprzeczność. W innym wypadku wszystkie inne lambdy muszą być równe zero, bo wektory \(\displaystyle{ w_x}\) są liniowo niezależne, a to oznacza, że wektory \(\displaystyle{ w_x}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) muszą być liniowo niezależne.