Odwzorowanie liniowe.

[blade]

Sprawdź czy podane odwzorowanie jest liniowe.
Jeśli tak to wyznacz Jądro, Obraz, ich bazy i wymiary oraz macierze tych odwzorowań.
\(\displaystyle{ f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m; f(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1-x_2,x_3-x_4,x_5-x_6,...,x_{n-1}-x_n)}\)
\(\displaystyle{ 1^\circ\\
(a_1,...,a_n); (b_1,...,b_n) \in \mathbb R^n}\)
\(\displaystyle{ f(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n) = (a_1-a_2+b_1-b_2,a_3-a_4+b_3-b_4,...,a_{n-1}-a_n+b_{n-1}-b_n) = f(a_1,...,a_n) + f(b_1,...,b_n)\\
2^\circ
\alpha \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ f(\alpha\cdot a_1,...,\alpha \cdot a_n) = (\alpha a_1 - \alpha a_2,..., \alpha a_{n-1} - \alpha a_n) = \alpha(a_1 - a_2,...,a_{n-1} - a_n) = \alpha\cdot f(a_1,...,a_n)}\)
Zatem odwzorowanie jest liniowe.

Szukam jądra.
\(\displaystyle{ (a_1,...,a_n) \in \mathbb R^n}\)
Przyrównuje to odwzorowanie do wektora zerowego :
\(\displaystyle{ (a_1 -a_2, a_3 - a_4,...,a_{n-1} - a_n) = \vec{0}}\)
Dostaję :
\(\displaystyle{ a_1 = a_2\\
a_3 = a_4\\
.\\
.\\
.\\
a_{n-1}=a_n}\)
Nie bardzo wiem co teraz, jak zapisać to jądro ?
Obrazu nie wiem jak za za bardzo ruszyć w takim przypadku

[szw1710]

Zobacz jak wygląda macierz tego odwzorowania. Najpierw w niskich wymiarach: \(\displaystyle{ n=2,3,4,5}\). Potem wyciągnij wnioski uogólniając spostrzeżenia.

[blade]

Właśnie nie bardzo wiem jak wyznaczyć taką macierz. Powinna być ona wymiaru \(\displaystyle{ m\times n}\) tak ? Hmm... nie widzę tutaj jak powinna wyglądać ta macierz.
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1-x_2,x_3-x_4,x_5-x_6,...,x_{n-1}-x_n)}\)

[a4karo]

Wzorek na funkcję jest dość dziwny. Czy wiesz jak wygląda gdy np \(\displaystyle{ n=3,m=1}\)? A \(\displaystyle{ n=3,m=765}\) Bo ja nie widzę tu żadnej reguły.

[blade]

Nie może być \(\displaystyle{ m=1, n=3}\), bo musi być \(\displaystyle{ n=2m}\)

[a4karo]

A skąd to wynika? To powinno być jasno powiedziane w treści zadania, żeby nie kazać zgadywać.
Macierz nie jest poprawna: z tego zapisy wynika, że jest kwadratowa

[blade]

Macierz nie jest poprawna: z tego zapisy wynika, że jest kwadratowa

Jak widzisz, skasowałem ją z posta, bo źle powpisywałem :
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &...&0&0 \\ .&.&.&.&...&.&. \\ 0&0&0&0&...&1&-1 \end{bmatrix}}\)
Tak ?

[a4karo]

OK

[blade]

Wracając do jądra :
\(\displaystyle{ ker f = \left\{\begin{bmatrix} a_2 & -a_2 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_4 & -a_4 &...&0&0 \\ .&.&.&.&...&.&. \\ 0&0&0&0&...&a_n&-a_n \end{bmatrix} : a_2,a_4,...,a_n \in \mathbb R\right\} = Lin \left( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &...&0&0 \\ .&.&.&.&...&.&. \\ 0&0&0&0&...&1&-1 \end{bmatrix}\right)}\)
\(\displaystyle{ B_{ker f} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 &...&0&0 \\ .&.&.&.&...&.&. \\ 0&0&0&0&...&1&-1 \end{bmatrix}\right\}}\)
Tak by to wyglądało ?

[a4karo]

NIe, te zapisy nie mają sensu. Jądro to podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^n}\) a nie zbiór macierzy. Ostatnie wyrażenie w pierwszej linijce to jednowymiarowa przestrzeń liniowa w przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ m\times 2m}\), więc też nie leży tam, gdzie byś chciał.
Nie za bardzo rozumiem zapis \(\displaystyle{ B_{ker\,f}}\).

[blade]

hmm.. To nie wiem jak mialoby to wyglądac. Moglbys mnie jakos naprowadzic?-- 2 kwi 2015, o 20:30 --A może tak :
\(\displaystyle{ (a_2,a_2,a_4,a_4,...,a_n,a_n)=a_2(1,1,0,...,0) + a_4(0,0,1,1,...,0) + ... + a_n(0,...,1,1)}\)
\(\displaystyle{ ker f = Lin\left( (1,1,0,...,0),(0,0,1,1,...,0),...,(0,...,1,1)\right)}\)
jedyne co przychodzi mi na myśl
a co do \(\displaystyle{ B_{ker f}}\) to miała być baza jądra, ale póki co nie wyznaczam, skoro nie jestem pewien jądra.

[a4karo]

No, to już ma sens.

Przy okazji policzyłeś bazę jądra

[blade]

Tam poprawa, \(\displaystyle{ ker f}\) chyba powinno być w klamrowych nawiasach :p
Czyli \(\displaystyle{ B_{ker f} = \left\{ (1,1,0,...,0),(0,0,1,1,...,0),...,(0,...,1,1)\right\}}\)
Dzięki za pomoc, obraz policzę już jutro i wrzucę, bo jeszcze nie bardzo wiem jak się to liczy

[a4karo]

\(\displaystyle{ \ker f=\{(a_1,a_2,\dots,a_{2m}): a_1=a_2, \dots a_{2m-1}=a_{2m}\}=\Lin ...}\)

[blade]

\(\displaystyle{ \dim ker f = n}\)?
Obraz :
\(\displaystyle{ im f = \left\{ ( x_1 - x_2, x_3 - x_4,\cdots,x_{n-1} - x_n) : x_1,...,x_n \in \mathbb R\right\}}\) \(\displaystyle{ = \left\{ x_1(1,0,\cdots,0) + x_2(-1,0,\cdots,0)+ \cdots + x_{n-1}(0,0,\cdots,1) + x_n(0,0,\cdots,-1) : x_1,\cdots,x_n \in \mathbb R \right\}}\)\(\displaystyle{ = Lin \left\{ (1,0,\cdots,0) + (-1,0,\cdots,0)+ \cdots +(0,0,\cdots,1) + (0,0,\cdots,-1)\right\}}\)
One są liniowo zależne, zatem Bazą będzie jakikolwiek jeden wybrany wektor z powłoki, a wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?
Tylko czy wtedy mi się to zgadza, \(\displaystyle{ \dim ker f + \dim im f = \dim R^n}\)?